高二数学竞赛模拟试卷（2）.doc

高二数学竞赛模拟试卷（2）
班级 姓名
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数
的反函数是（ ）

2．集合由满足如下条件的函数组成：当时，有
，对于两个函数，
以下关系中成立的是（ ）

中，则比式
等于

4．抛物线上两点关于直线对称，
若，则的值是（ ）.

5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为
，则 的最大值为（ ）.
不能确定.
6．函数的值域为（ ）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.

7．若，则 .
8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为
则
9．为实数，满足，则 的最大值为 .
10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 .
11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的
“线段对”有 个.
12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 种.
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设为正数，证明：

14．已知二次函数
（1）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。
（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记两数中较大者为P，试求P的最小值。

15．设是质数，且的不同正因数的个数不超过个．求．
高二数学竞赛模拟试卷（2）参考答案
二、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数
的反函数是（ ）

答：C.
解：由依次得
，互易得 .

2．集合由满足如下条件的函数组成：当时，有
，对于两个函数，
以下关系中成立的是（ ）

答：D.
解：．
，取，
则.
中，则比式
等于

答：
解：如图易知，
，
因此选

4．抛物线上两点关于直线对称，
若，则的值是（ ）.

答：．
解：由以及
得 ，

5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为
，则 的最大值为（ ）.
不能确定.
答：．
解： .（时取等号）
6．函数的值域为（ ）

答：.
解：的定义域为则，令，则

因，则 .
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.
7．若，则 .
答： .
解：由条件得，
则.
8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为
则
答：.
解：由，即当 时，
，所以 ，于是，
9．为实数，满足，则 的最大值为 .
答： .
解：设，则

，（当时取等号）.
10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 .
答：.
解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为
，共种，因此集合中至多有 个数 .
11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的
“线段对”有 个.
答：个“线段对”.
解：任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；不含的侧面恰有两条中位线与异面；因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）.
但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”.
12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 种.
答：种.
解： 将其转化为具有五个扇形格的
圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。
设有个扇形格的圆盘染五色的方法数
为，则有
，于是

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设为正数，证明：

证：对归纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立，
当时，对于任意个正数，据假设有
，…5分
所以

只要证，
…
平方整理，只要证，
……10分
由柯西不等式

……………15分
即
所以
即成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.
………………………………20分
14．已知二次函数
（1）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。
（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记两数中较大者为P，试求P的最小值。
[解答]：
（2）由过点（1，1）得到：

（9分）
如图所示，当时（12分）
15．设是质数，且的不同正因数的个数不超过个．求．
解：当时，，有个正因数；
当时，，有个正因数．
所以、满足条件．
当时，．
其中为奇质数，所以与是相邻的两个偶数，从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数，从而是24的倍数．
设，其中．
若中有不同于、的质因数，则的正因数个数；
若中含有质因数，则则的正因数个数；
若中仅有质因数，则的正因数个数．
所以不满足条件．
综上所说，所求得的质数是或．