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章复习 第17章 勾股定理
一、勾股定理
1、勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么____________．勾股定理是针对于直角三角形来说的，其他三角形的三边不具有这种关系．
2、勾股定理的证明
证明勾股定理的方法很多，下面介绍两种常用的方法．
①如图，将四个全等的直角三角形(边长为a、b、c)和一个小正方形[边长为（a-b）]拼成一个大正方形（边长为c），则S正方形ABCD=c 2.
而正方形ABCD的面积等于正方形EFGH的面积与四个直角三角形的面积之和．即，∴．
②如图，将三个直角三角形拼成直角梯形，则三个三角形面积之和=梯形的面积，即：
=，∴．
3、勾股定理的作用
①已知直角三角形的两边，求第三边．
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系．
③用于证明平方关系的问题．
④利用勾股定理，作出长为的线段。
二、勾股定理的逆定理
1、定义：如果三角形的三边长a，b，c满足____________，那么这个三角形是直角三角形．
注：勾股定理的逆定理是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形．
2、直角三角形的判定
设三角形的三边长分别为a，b，c，①首先确定最大边（如c）；②验证c2与是否具有相等关系．
若，则△ABC______是直角三角形，若，则△ABC______不是直角三角形。（填写“是或“不是”）
*附：当△ABC不是直角三角形时，有两种情况：
当时，三角形为钝角三角形；当时，三角形为锐角三角形．
3、勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个______正整数，称为勾股数．
⑴常见的勾股数有：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④以上勾股数的倍数
⑵常见的表示勾股数的代数式：①，，（其中m表示大于1的整数）；
②，，（m、n为正整数且m≠n）．
4、命题、定理
⑴判断一件事情的语句叫做命题，命题可以变成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是______题设，“那么”后接的部分是______结论．
⑵题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的______逆命题．
⑶经过证明被确认正确的命题叫做______定理，若一个定理的逆命题也是正确的，则它也是一个定理，称这两个定理互为______逆定理．
三、典型例题 勾股定理及其逆定理的综合应用
例l （金华中考）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长

解：如图满足条件的直角三角形有△PAB，△PBF，△PCD．△PED，它们的斜边长分别为4，，2，

*例2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E在AB上，且∠DCE =45°．
求证：以AD、DE、EB为边可构成直角三角形．

【证明】如图，过B点作BF⊥AB，取BF=AD，连接EF, CF．

在Rt△EBF中，

以AD、DE、EB为边可构成直角三角形．

检测试题
一、选择（30分）
1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12；③1，2，3；④9，40，41；⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（ ）组
A.2 B.3 C.4 D.5
2．已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则它的三条边之比为（ ）
A.1∶1∶ B.1∶∶2 C.1∶∶ D.1∶4∶1
3．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）
A. B.3 C. +2 D.
4．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
5．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）
A.600米　 B.800米 　 C.1000米 　 D.不能确定
6．如图1所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1＝5.2米，L2＝6.2米，L3＝7.8米，L4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A.L1 　　　 B.L2 　　　 C.L3 　　　 D.L4
图3
A
B
C
图2
图1
A
B
C
D
5m

7．如图2，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（ ）
A.S1＝S2 　　B.S1＜S2 　　C.S1＞S2 D.无法确定
8．在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）
A.5，4，3 B.13，12，5 　 C.10，8，6 D.26，24，10
9．如图3所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（ ）
A.1 B. C. D.2
*10．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）
A.182 B.183 C.184 D.185
二、填空（24分）
11．根据下图中的数据，正方形A的边长=_____，正方形B的面积=_____，x=_____．
图4

图5

12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
13．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
14．如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有
______米．
15．如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是_____．
16．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为______cm．
A
B
C

17．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
18．甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距 海里．
三、解答题（66分）
19．古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．
图6

20．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米；小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面时，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？

A
B
小河
东
北
牧童
小屋
图7
21．如图7，一个牧童在小河的正南4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km北7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少

*22．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．
（2）现有一张长为6.5 cm，宽为2 cm的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）
图8

图9

23．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为34、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长” ．
⑴当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
*⑵你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．

图10
24．学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图10，小明从路口A处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为39米／分，小华步行速度为52米／分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰．
⑴你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限）
⑵通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法．

参考答案：
一、1，B；2，B；3，D；4，A；5，C.点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角；6，B.点拨：在Rt△ACD中，AC＝2AD，设AD＝x，由AD2+CD2＝AC2，即x2+52＝(2x)2，x＝≈2.8868，所以2x＝5.7736；7，A；8，D.点拨：设斜边为13x，则一直角边长为5x，另一直角边为＝12x，所以 13x+5x+12x＝60，x＝2，即三角形分别为10、24、26；9，D.点拨：AE＝＝＝＝＝2；10，A.
二、11，15、144、40；12，；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17，：76
；18，30.
三、19，设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，有(3m)2+(4m)2＝(5m)2，所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.
20，15m.
A
B
D
P
N
A′
M
21，如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B＝17km.

22，（1）设直角三角形的两条边分别为a、b（a＞b），则依题意有由此得ab＝6，(a－b)2＝(a+b)2－4ab＝1，所以a－b＝1，故小正方形的面积为1.（2）如图：

23，（1）当S＝150时，k＝＝＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k倍，则三边为3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边.其面积S＝(3k)·(4k)＝6k2，所以k2＝，k＝（取正值），即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数.
24，（1）利用勾股定理求出半径为1950米；（2）小明所走的路程为39×30＝3×13×30，小华所走的路程为52×30＝4×13×30，根据前面的探索，可知勾股数3、4、5的倍数仍能构成一组勾股数，故所求半径为5×13×30=1950（米）.