数学建模国二奖文章.doc

数学建模竞赛论文

举办单位：百色学院数计系

题目：防盗窗的下料问题

参赛队员信息：
系 别 班 级 学 号 姓 名
数计系 数本122班 2012112290 韦国照
数计系 数本122班 2012112289 赖玲玲
数计系 数本132班 2013111197 沈大好

防盗窗下料问题模型
【摘要】本文研究了某不锈钢装饰公司防盗窗下料最省的问题，公司购进不同规格的圆形和方形不锈钢管，从供应、需求关系，这里，我们采用所使用的原料量减去客户实际的实际需求，得出余料，我们求出余料的最小值，即实现经济最优化方案，所耗费的经费也就较省。借助lingo11.0软件编程求解。
通过题目已经给出的条件，可以分析需求与供应关系，我们又分析出客户对方形馆、圆形管的供应量远大于需求量，我们采用所用管根数最少模型进行解答。据以上数学关系分析，我们列出了求解的目标函数、约束条件、决策变量，用lingo11.0求的结果。
最后，求出了如下最优切割方案：
1.满足方形管4m、6m的规格为1.3m、3m、1.8m的方案如下：

方案
根数
余料（米）
6米
模式五
1400
840
模式七
1100
0
4米
模式一
2000
200
表1

2.满足圆形管4m、6m的规格为1.2m、1.5m、1.8m的方案如下：

方案
根数
余料（米）
6米
模式六
3700
0
模式九
4000
0
模式十
900
540
4米
模式四
1200
480

表2

【关键词】钢管切割 约束条件 lingo求解
一、问题的提出
某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5500根，6米圆形管8600根，4米方形管2400根，6米方形管2600根。根据小区的实际情况，需要截取1.5m圆管16000根，1.8m圆管12500根，1.2m圆管7400根；1.3m方形管6000根，1.8m方形管4200根，3m方形管2200根。请你们根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。
二、问题的分析
根据问题，我们从供求关系，从题中提供的方形管、圆形管的原材料足以满足客户的需求量，从经济费用最优方面考虑，使其所用原料与需求量之差即为余料最小，才能满足经济费用最少，同时，将采用的模型为：剩余量=实际用去的材料-客户实际的需求量。
三、模型的假设
1． 假设钢管在截取时无钢管损坏的现象,不考虑其他因素的影响；
2． 切割出来的产品不能再做任何的装饰；
3． 假设圆形管6m和4m的价格不同；
4． 所有的原材料钢管都是合格品。

四、符号解释
提供方形管的总量
客户需求方形管的数量
提供圆形管的总量
客户需求圆形管的总数量
表示原料6米与4米中切割的最小规格
表示原料6米与4米中切割的中等规格
表示原料6米与4米中切割的最大规格
方形管规格4m的4种模式下各需用钢管数量
方形管规格6m的7种模式下各需用钢管数量
圆形管规格4m的6种模式下各需用钢管数量
圆形管规格6m的11种模式下各需用钢管数量
五、模型的建立与求解
1.方形管模型分析
根据原料中方形管6m、4m所截取的长度不同，我们罗列出了它们各自的所要截取的模式规格及剩余量。
由题意中给出的切割规格中，切割规格要小于等于最小规格要求，每根6m长的原料切割规格1.3m、1.8m、3m,要求,且，，；
每根4米长的原料切割规格1.3m、1.8m、3m，要求，且，，。且所有的切割规格中余料不能大于1.3米。可以得出方形管的6米、4米以下几种模式：

6m方形管可以截取的所有规格

1.3
1.8
3
余料（米）
模式一
4

0
0
0.8
模式二
3
1
0
0.3
模式三
2
0
1
0.4
模式四
1
2
0
1.1
模式五
0
3
0
0.6
模式六
0
1
1
1.2
模式七
0
0
2
0
表3
4m方形管可以截取的所有规格

1.3
1.8
3
余料（米）
模式一
3
0
0
0.1
模式二
1
1
0
0.9
模式三
0
2
0
0.4
模式四
0
0
1
1
表4
我们从问题中分析可知，经计算可以得知整个方管所能提供的总量为：

根据小区的具体情况，对原料进行切割，要求需要切割的总长为：

我们从上述两个结果可知，需求量远远小于所能提供的总量。我们将采用最优化的解决方案，将运用所用的根数最少而建立模型，经济效果达到最优、最省。
根据表3、表4中的数据我们得出目标函数：

2.方形管模型求解
利用lingo软件编程计算结果为：
目标函数：

满足方形管4m、6m的规格为1.3m、3m、1.8m的方案如下：

方案
根数
余料（米）
6m
模式五
1400
840
模式七
1100
0
4m
模式一
2000
200

表5
从而解得z=23000从而算出目标函数min=23000-21960=1040(米)。
这里，我们采用所使用的原料量减去客户实际的实际需求，得出余料，我们求出余料的最小值，即实现经济最优化方案，所耗费的经费也就较省，余料的具体数据在表3中，则最少的余料为：840+200=1040（米）。（详细运算及结果见附录1）

3.圆形管模型分析
由题意中给出的切割规格中，切割规格要小于等于最小规格要求，每根6m原料切割规格1.2m、1.5m、1.8m,要求，且，，；
每根4m原料切割规格1.2m、1.5m、1.8m,要求，，，。再由余料小于1.2米。可以得出圆形管的6米、4米以下几种模式：
6m圆形管可以截取的所有模式

1.2
1.5
1.8
余料
模式一
5
0
0
0m
模式二
3
1
0
0.9m
模式三
3
0
1
0.6m
模式四
2
1
1
0.3m
模式五
2
2
0
0.6m
模式六
2
0
2
0m
模式七
1
3
0
0.3m
模式八
1
2
1
0m
模式九
0
4
0
0m
模式十
0
0
3
0.6m
模式十一
0
1
2
0.9m
表6
4m圆形管可以截取的所有规格

1.2
1.5
1.8
余料
模式一
0
2
0
1m
模式二
0
1
1
0.7m
模式三
2
1
0
0.1m
模式四
0
0
2
0.4m
模式五
1
0
1
1m
模式六
3
0
0
0.4m
表7
由整个建模问题分析我们可以容易求出提供的总量：

外部的需求总量为：

因此，提供的总量远远多于需求的量，据分析得出，我们将采用最优化的解决方案，将运用所用的根数最少而建立模型，经济效果达到最优、最省。
从而，据表4、表5中数据分析来建立关系：
目标函数：

4.圆形管模型求解
利用lingo软件编程计算结果为：
满足圆形管4m、6m的规格为1.2m、1.5m、1.8m的方案如下：

方案
根数
余料（米）
6米
模式六
3700
0
模式九
4000
0
模式十
900
540
4米
模式四
1200
480

表8

解得z=56400.解得目标函数: min =1020(米)，前面我们已经分析出了圆形管能够实现满足的客户需求量，从社会实际经验来分析，首先，长度较长的原料能够即满足客户的需求，也能实现余料的回收率也能够满足规格比较短小的材料，这里，我们采用所使用的原料量减去客户实际的实际需求，得出余料，我们求出余料的最小值，即实现经济最优化方案，所耗费的经费也就较省。（相关运算及结果见附录2）

六、模型的评价与推广
1.模型优点
本模型考虑到了一定的实际情况，采用线性约束条件，简单易懂，从供求关系，考虑方形管和圆形管都有足够的供应量，采用剩余根数最多模型，以及各个切割标准中数据层次优先模型，可以用来解决一般性的钢管下料问题。
2.模型缺陷
设有很多变量，对数据复杂的情况不能试用。
3.模型改进方向
考虑更多的实际情况，建立相应的约束条件，使求出的解决方案更具有应用价值。

附录
附录1 方形管4米与6米的切割方案
Model:
Min=z-(1.3*6000+1.8*4200+3*2200);
Z=6*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7)+4*(x1+x2+x3+x4);
y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7<=2600;
x1+x2+x3+x4<=2400;
4*y1+3*y2+2*y3+y4+3*x1+x2>=6000;
Y2+2*y4+3*y5+y6+x2+2*x3>=4200;
Y3+y6+2*y7+x4>=2200;
@gin(y1); @gin(y2); @gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);
@gin(y7);@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);
end
运行结果如下：

附录2 圆形管4米与6米的切割方案
model:
min=z-(7400*1.2+16000*1.5+12500*1.8);
z=6*(n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8+n9+n10+n11)+4*(m1+m2+m3+m4+m5+m6);
m1+m2+m3+m4+m5+m6<=5500;
n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8+n9+n10+n11<=8600;
5*n1+3*n2+3*n3+2*n4+2*n5+2*n6+n7+n8+2*m3+m5+3*m6>=7400;
n2+n4+2*n5+3*n7+2*n8+4*n9+n11+2*m1+m2+m3>=16000;
n3+n4+2*n6+n8+3*n10+2*n11+m2+2*m4+m5>=12500;
@gin(n1); @gin(n2); @gin(n3);@gin(n4);@gin(n5);@gin(n6);
@gin(n7);@gin(n8);@gin(n9);@gin(n10);@gin(n11);@gin(m1);@gin(m2);@gin(m3);@gin(m4);
End
运行结果如下：