概率论中基本概率模型的方法总结.doc

学号 08124080206
广东石油化工学院
理学院学生学年论文

题目:概率论中基本概率模型的方法总结

系别 数学系 专业 数学与应用数学 班级 数学08-2班
学生姓名 黄小燕 指导教师（职称）李春香（副）教授
完成时间 20011 年 4 月 12 日

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指导教师评语：

评分： 签名：

摘要
概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努力概型，古典概型是各类概率模型中最基本的一种，在实际问题中经常会遇到，因此它历来是概率论教学中的重点部分，是学习概率统计的基础。几何概型从某种意义上说是古典概型的补充和推广，在很多实际问题中，实验的一切结果是无限个，这时古典概型就不再适用了。贝努力概型是概率论中最早研究的模型之一，它在概率论中占有相当重要的地位。这三种概率各有各的定义、条件、计算方法及应用范围。
关键词：古典概型、几何概型、贝努力概型

目录

引言 5
1、古典概型 6
1．1 摸球问题 6
1.1.1 随机取出若干球 6
1.1.2无放回取球若干次 7
1.1.3 有放回取球若干次 8
1.2 放球入箱问题 9
1.3排序问题 10
2、几何概型 11
2.1约会问题 12
2.2蒲丰投针问题 12
2.3 数学模型问题 13
2.3.1 均匀分布 13
2.3.2 求近似值 14
3、贝努力概型 14
结论 16
参考文献 17

概率论中基本概率模型的方法总结

引言
概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努力概型。本文对这三种概率模型的方法进行了总结。

1、古典概型

古典概型及其概率是概率论的基础知识，它是进一步学习概率的基础。下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤：
（1）确定所研究的对象为古典概型
（2）计算样本点数
（3）利用公式计算概率
即若随机试验满足样本空间只有有限多个样本点及每个样本点出现的可能性相同，那么这样的随机试验就是古典概型。
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由m个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：
，在计算m和n时，经常要用到排列与组合计算公式。关于古典概型的数学模型有如下：

1．1 摸球问题
1.1.1 随机取出若干球
随机从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题，其特点是所考虑的事件中只涉及到球的结构而不涉及取球的先后顺序，计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中很多问题常常可以归结为此类问题来解决。
例1 一个袋中有m+n个球，其中有m个黑球，n个白球，现随机地从袋中取出k个球（km+n），求其中恰好有一个白球（1n）的概率。【2】
分析：随机地从袋中取出k个球有种可能的结果，其中“恰好有1个白球”这一事件包含了种结果，因此所求概率为
结论：这个结论可以作为一个公式来应用，用它可以解决一些类似的问题。
1.1.2无放回取球若干次
随机从袋中无放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球，取后不再放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的，所考虑的事件也会涉及到取球的顺序，所以要用排列数计算样本点数。
例2一个袋中有m+n个球，其中有m个黑球，n个白球，现随机地从中每次取出一个球（不放回），求下列事件的概率：【3】
（1） 第i次取到的是白球；
（2） 第i次才取到白球；
（3） 前i次中能取到白球；
（4） 前i次中恰好取到1个白球（）；
（5） 到第i次为止才取到1个白球（）。
分析：（1）“第i次取到的是白球”可以理解为“取球进行了i次，第i次取出白球”。从m+n个球中不放回地取球i次，即是从m+n个球中不放回地取出i个球，一共有种不同的取法；其中“第i次取到的是白球”有。因此所求概率为：，根据排列数公式计算得。
结论：这个问题可以看成是抽签问题的数学模式，其结果表明：抽到好签的机会（概率）与抽签的顺序无关，即抽签具有公平性。
（2）“第i次才取到白球”可以理解为“取球进行了i次，前i-1次取出的都是黑球，第i次取出的是白球”，根据乘法原理可知应有种取法；同（1）可得从m+n个球中不放回地取球i次一共有种不同的取法，故有 。
（3）“前i次中能取到白球”包含的情况比较复杂，因此先找它的对立事件“前i次取出的都是黑球”的概率。“前i次取出的都是黑球”的概率是：所以前i次能取到白球的概率是。
（4）“前i次恰好取到1个白球”意味着“取出的i个球中有1个白球，i-1个黑球”，根据乘法原理可知应有种取法，所以。
（5）“到第i次为止才取到1个白球”等价于“前i-1次中恰好取到1-1个白球且第i次取到白球”。故。
由此可见如果能深刻理解以上该事件这种数学模型，那么古典概型中的一些概率计算问题就可以归纳为随机从袋中无放回取球若干次求某事件的概率问题。
1.1.3 有放回取球若干次
随机从袋中有放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取出一个球，取后依然放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程实际上也是按顺序取的，而且每个球都有被重复取出的可能，所考虑的事件依然会涉及到取球的顺序，所以要用重复排列数计算样本点数。
例 一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现随机地从中每次取出一个球，取后放回，求下列事件的概率：【3】
（1）第i次取到的是白球；
（2）第i次才取到白球；
（3）前i次中能取到白球；
（4）前i次中恰好取到1个白球（）；
（5）到第i次为止才取到1个白球（）。
分析：因为每一个问题仅仅涉及了i次取球，所以只考虑取球i次的情形。根据题中的取球要求可知每次取球都是从m+n个球中取出1个共取了i次，据此应该有种不同的取球方式。
（1）“第i次取到的是白球”意味着“前i-1次每次都是从m+n个球中取出1个

球（白球或黑球），然后第i次是从n个白球中取出1个白球”，根据乘法原理得“第i次取到的是白球”应有种取法。因此所求概率是。
（2）“第i次才取到白球”表示“前i-1次每次都是从m个黑球中取出1个黑球，然后第i次是从n个白球中取出1个白球”，一共有种取法。故事件“从第i次才取到白球”的概率是 。
（3）“前i次中能取到白球”的对立事件是“前i次取出的都是黑球”，而“前i次取出的都是黑球”是指“前i次每次都是从m个黑球中取出1个黑球”，有种取法。所以“前i次中能取到白球”的概率是 。
（4）“前i次中恰好取到1个白球”表明“取出的i个球中有1个白球，i-1个黑球”，其中1个白球中的任意一个可以是i次取球中的任意一次取出的，同时也是每次从n个白球中取出一个；欲得到i-1个黑球须每次从m个黑球中取出一个，取i-1次。根据乘法原理可知“前i次中恰好取到1个白球”应有种取法。因此它的概率为 。
（5）“到第i次为止才取到1个白球”意味着“前i-1次中恰好取到i-1个白球且第i次取到的是白球”，由（4）可知前i-1次中恰好取到1-1个白球应有种取法；又因第i次取到的是白球有n种取法。由乘法原理得“到第i次为止才取到1个白球”应有种取法，从而所求概率是 。
1.2 放球入箱问题
放球入箱问题，也叫分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。下面就以一个例子说明。
例 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：【1】
（1）A={某指定的一个盒子中没有球}
（2）B={某指定的n个盒子中各有一个球}
（3）C={恰有n个盒子中各有一个球}
（4）D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)
解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共有种放法。即基本事件总数为。
（1）事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有N1种放法。因此

（2）事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此

（3）事件C={恰有n个盒子中各有一个球}
恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为

在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为

（4）事件 D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)
：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有种，所以事件D所包含的样本点总数为

1.3排序问题

排序就是指把一些对象按照一定的顺序排成一列或一圈。如果在排序的前提条件下计算某事件的概率，那么就要用排列数来计算样本点数。
例 将标号为1，2，…，n的n个球随意地排成一行。求下列事件的概率：【2】
（1）标号是递增或递减的序列；
（2）第1号球排在最左或最右；
（3）第1号球与第2球相邻；
（4）第1号球在第2号球右边（但不一定相邻）
（5）第1号球与第2号球之间恰有r个球（）
分析：将标号为1，2，…，n的n个球随意地排成一行有n！种不同的排法。
（1）标号是递增或递减的序列只能是排成1，2，…，n或n，n-1，…，2，1这两种形式，因此所求概率为 。
（2）先排1号球，再排其他球。1号球在最左或最右只有两种排法。其他的n-1个球有（n-1）！种排法，根据乘法原理满足条件的排列有2（n-1）！个，所以所求概率为。
（3）先把1号球和2号球看成一个整体与其他球进行排列，即n-1个球排成一列应有（n-1）！种排法；再排1号球和2号球，有2！种排法。由乘法原理可知满足条件的排列有2！（n-1）！个，所以所求概率为 。
（4）对于每一种“1号球在2号球右边”的排法而言，如果对调1、2号球的位置就会得到一种“1号球在2号球左边”的排法，反之亦然。即“1号球在2号球右边”与“1号球在2号球左边”的排法总数相等，所以所求概率为 。
（5）先排1号球和2号球，有2种排法；因为1号球与2号球之间恰好有r个球，而且这r个球是剩下的n-2个球中任意r个，所以再从n-2个球中任意选出r个进行排列（排列时满足条件它们正好在1号球与2号球之间）有种不同的排法；最后把1号球、2号球以及选出的r个球看成一个整体与其他球进行排列有（n-2-r+1）!种排法。根据乘法原理可得“第1号球与第2号球之间恰有r个球”一共有种排法，因此所求概率为，亦即 。
综上所述，袋中取球球、放球入箱、排序等问题是古典概型的主要数学模型，掌握了它们的分析方法就可以解决具体的古典概型问题。

2、几何概型

几何概型就是将古典概型中的有限样本空间推广到无限样本空间，保留等可能性，因此几何概型也具有以下两个条件：
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型。

2.1约会问题
例 两人约定于0到T时在某地相见，先到者等t（t《T）时后离去，求两人能相见的概率。【4】
解：用x,y分别表示甲、乙两人到约定地点的时刻，由于两人分别在0到T时刻到达是等可能的，故问题可以看作几何概率问题，即看作在平面区域内均匀投点，如图两人相见这一事件可表示为

2.2蒲丰投针问题
蒲丰投掷硬币的实验大家都很熟悉。投币实验揭示了频率的稳定性，即统计性规律。1777年法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题（投针问题则是一个典型的几何概率问题）.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b( b知，这是一个几何概型问题。
而我们所关心的事件
发生的充分必要条件为S中的点满足：
；因此：

2.3 数学模型问题
2.3.1 均匀分布
均匀分布是连续型随机变量的一种最简单的分布，正因为均匀分布结构简单和实际背景—几何概率的广泛性存在，决定了均匀分布在理论上、实际上都有重要的应用。
例 候车问题。公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到汽车站的时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。【3】
解 这是一个简单的均匀分布问题。设为乘客候车时间，则在上服从均匀分布。密度函数为

若A=“乘客候车不超过3分钟”则
2.3.2 求近似值
蒲丰投针问题的结果在历史上曾被许多人反过来应用于计算的近似值。作n次蒲丰投针试验（n充分大），m表示与平行线相交的次数，频率，A表示相交概率，则P（A）近似的可以用f（n）,即得（根据2.2），由此公式只要给出其中n,m,b,a的值，就可近似的计算出的值。由此想到，可以设计另一个简单实用的实验来求的近似值，具体如下：在平面直角坐标系中，以O(0,0),A(1,0)，C（1,1）,B(0,1)为四个顶点做一个正方形，其面积S=1，以圆点O为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为，在这个正方形内随机的投入n个点，设其中有m个点落在单位扇形内，则即只要实际做n次（n相当大时）投点实验，观察n，m的值，就可由上式算出的近似值。【6】

3、贝努力概型

贝努力概型是概率论中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一，尽管它比较简单，却也概括了许多实际问题，有广泛的应用价值，诸如在产品质量检查中，群体遗传学中都占有重要的地位，因此它在概率论中占有相当重要的地位。
贝努力概型是指：
（1） 试验E只有两个可能的结果，A与，并且，（其中）称为贝努力试验。
（2） 把试验E独立地重复进行n次地试验构成了一个试验，这个试验称为n重贝努力试验或贝努力概型，在n重贝努力试验中，事件A发生K次的概率为，
注意：在具体问题中，首先要看每次试验是不是只有两个可能的结果。还有遇到实际问题时，表面上看该问题的提法和贝努力概型的提法相同，但实际上不是，因此一定要先判断它是否为贝努力试验，才能考虑模型选择的方法问题。
下面就通过例子，具体说明如何正确实用贝努力概型解决问题。
例 某家庭有4个女孩，她们去洗碗，在打破4个碗中有3个是最小的女孩打破的，因此人家说她笨拙，问她是否有理由申辩这完全是碰巧？【5】
解：假设有理由申辩，则4个饭碗中，每一个是小女孩打破的概率为（因为在假设下，每个女孩打破碗的概率是相同的，即是等可能的），这是n=4的贝努力试验。设事件B=“4个饭碗中至少有3个事最小女孩打破的”，则

这是一个小概率事件在一次试验中可以认为是不可能发生的，然而经过一次试验竟然发生了，说明原来的假设是错误的，即小女孩无理由申辩。
结论：当然，上述问题也可以用古典概型的方法求解，但前者优于后者，因此在具体问题中，要进行认真的分析判断，如果属于贝努力概型的问题时，用贝努力概型解决起来最方便、最简单。

结论

概率模型在现实生活中应用很广泛，它能使很多复杂的问题迎刃而解。本文重点论述了三种常用的概型：古典概型、几何概型、贝努力概型，通过对它们的基本思想以及概率计算的方法总结，可以区分这些概型。当然，除了这三种概型，还有很多概率模型。由于篇幅问题没有作深入研究，而在以后的现实生活中和实际应用中我们会了解多种多样的概率模型。

参考文献

【1】 茆诗松 程依明 概率论与数理统计教程[M] 北京：高等教育出版社 2004.7
【2】 龙永红 概率与数理统计中的典型例题分析与习题[M] 北京：高等教育出版社 2004
【3】 梅长林 王宁 周家良 概率论和数理统计学习与提高[M] 西安：西安交通大学出版社 2001.8
【4】 冯予 陈萍 概率论与数理统计[M] 北京：国防工业出版社 2005.8
【5】 刘书田 概率统计学习辅导[M] 北京：北京大学出版社 2001
【6】 同济大学概率统计教研组 概率统计[M] 上海：同济大学出版社 2004.3（第三版）

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