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数学的逻辑思维方法
数学作为自然科学的重要分支，与逻辑学密不可分，因而也就与逻辑学、哲学有着密切的联系，逻辑思维方法就成为数学研究中最常用最基本的方法. 我们在这里对它略作介绍.
一. 分类
分类是依据一定标准将研究对象区分为不同种类(称为子项)的逻辑方法，其逻辑基础是集合的分划，将一个集合分成若干个互不相交的子集，而这些子集的并又等于原先的那个母集. 由此我们就有分类法必须遵守的逻辑规则: (1) 不漏，各子项之总和应等于母项； (2) 不重，不同子项间不能出现重迭交叉；(3) 不乱，分类应逐级分层进行，不能越级.
二. 类比.
类比不是一种严格的推理，而是数学研究中经常使用的提出假说与猜想的思维方法，它所得出的结论是或然的，必须通过其他严格论证的方法加以证明. 类比法的逻辑形式是:
A的对象具有属性a， b， c， d，
B的对象具有属性a， b， c.
∴ B的对象可能具有属性d.
类比的结论带有“可能”性，不是必然正确的.
三. 归纳.
从特殊到一般的思维方法是归纳，按照被考查的对象是否完全，可分为不完全归纳与完全归纳两种.
由此可见，不完全归纳只能提供预测的结论，或可称为一种猜测. 它的结论尚需加以严格的逻辑证明.
至于完全归纳，则是通过对全部对象考查完毕得出它们的共性来. 当对象是有限个时，可以通过穷举，逐个进行考查以至穷尽所有对象；如果对象是无限个时， 则可通过类分来穷尽全部对象.
这里用的是类分归纳，通过把全部被考查的对象非零实数类分为正数与负数两类， 对每一类证明了结论. 于是归纳出对全部对象均成立的结论来.
穷举归纳、类分归纳统称为完全归纳法，它的结论是肯定的，也就是说，完全归纳法是一种严格的逻辑推理.
在数学中还有一种完全归纳法的变种，即数学归纳法. 如果P(n)是关于正整数n的一个命题， P(1)是正确的，而且在假定P(n)正确的条件下能推出P(n+1)正确， 那么命题P(n)对一切正整数N都正确.
四. 演绎.
演绎与归纳正好相反，是从一般性原理推出特殊结论，即从一般到特殊. 演绎的推理是严格的逻辑证明方法，只要前提正确，推理又符合逻辑规则，那么结论一定是正确的. 数学中绝大多数的推理均采用这种方法. 至于数学中的演绎形式，以三段论法为主.
数学家在研究工作中，为了发现从未有过的新成果时，往往是把归纳和演绎两种方法结合起来使用，它们本身是相互联系相互补充的. 归纳是演绎的基础，为演绎准备条件，而演绎则为归纳完成理论的依据，两者结合起来成为完整的逻辑方法.
(1) 试验.
(2) 归纳.
(3) 猜想.
(4) 演绎证明.
五. 分析.
分析法是把整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素分别加以研究，进而去认识事物的整体本质. 数学中的分析法大致有以下几种.
1. 元过程分析法. 通过对事物有代表性的局部小单元的研究，去揭示事物的整体本质.
2. 追溯分析法. 它从结论出发，分析结论成立需什么样的条件，然后通过论证去创造这种条件，有的可以通过构造辅助线、辅助面或辅助函数、辅助等式或不等式来达到，由此作为起点再开始论证.
3. 混合分析法. 在许多情况下，要采取夹击的思路，即既要分析结论成立需要什么样的条件，又要分析题设条件能导致什么样的结果，从前后两个方面同时论证， 最后会合到中途，达到论证的目的.
六. 综合.
综合是与分析相对的， 它根据对象各部分间的有机联系从事物总体上把握事物.
数学的发展史上有过分化和整合两种现象，在近代，多种数学理论的高度综合与统一，已形成现代数学发展的一种趋势，许多数学家致力于从整体的、大范围入手，以综合联系的观点研究数学对象，从而兴起了许多整体的、大范围的数学，如整体微分几何、流形上的几何拓扑与微分方程、大范围变分学等. 在非标准分析的理论中，这种倾向更加深刻.
另一方面，在具体解决数学问题时，综合法也起着独特的作用. 应当注意，分析与综合是相互依存相互渗透而不是孤立的. 它们的辩证统一使数学理论的发展不断向深度和高度展开，螺旋上升. 不断地分析现象和局部， 综合形成数学猜想，进一步分析证明，达到理论完美的程度.
七. 证明.
证明是借助于已确立真实性的命题按照一定规则来确定另一命题的真实性.
任何一个证明都由论题(需要被证实为真的命题)、论据(用来证实论题为真的那些命题)与论证方式(证明中运用的推理形式与规则)三部分构成.
每一个证明必须遵循以下三个规则:
1. 论题必须明确且同一. 论题明确是证明的先决条件，同时在整个证明中必须保持同一，即前后一贯，不得转移与偷换论题.
例13. 求极限 .
如果应用公式,算出，那么把论题中的变量x “从 ”换成了“ ”，这是不允许的，因而计算错误的. 事实上应有.
2. 论据必须真实、充分而不循环. 论据的真实与充分易于理解，对于循环论证的错误恰是应该时刻预防的，有时它极其隐蔽，不易察觉.
例14. 已知△ABC中， AD为∠A的平分线， BD>DC， 求证: AB>AC.
伪证: 如图，在AB上取点E， 使AE=AC， 连接DE. 由AD平分∠BAC
得△ACD≌△AED， 从而∠C=∠AED. 由外角定理知∠AED>∠B， 故∠C>∠B， 从而AB>AC.
评析. 证明中取AE=AC，已经承认了AB>AE=AC. 这相当于从AB>AC出发，去证明AB>AC. “犯了循环论证”的逻辑错误.
例15. 对 ， 求证 .
伪证: 由 ·········(7)
·········(8)
但 ·········(9)
故得 ·········(10)
评析. 式(7)， (8)， (9)都是正确的，但推出(10)是无效的，这里使用了假命题“大于较大的数者也较大”，因此论证的论据不充分.
3. 论证方式必须遵循一定的推理规则， 这与三段论法一样.
数学证明的具体方法很多，根据推理形式的差别有归纳证明与演绎证明之分， 按照证明的思维进程可分为分析证明与综合证明，此外还有直接证法与间接证法的区别. 至于具体名目的的数学证明还有反证法，同一法与数学归纳法等，而数学归纳法又有若干不同的变种. 这里不一一叙述了.
八. 反驳.
在数学理论的发展长河中，反驳有着独特的不可替代的作用，它可以看成一种特殊形式的证明，特别是反证法在许多场合特别有效.
反驳法是以确知为真的命题，驳斥另一命题的虚假性，它由反驳论题(反驳什么)、反驳论据(用什么反驳)与反驳方式(怎样反驳)三部分组成.
为了掌握反驳法，首先要学会对给定命题的否定，例如命题P: 函数 在a连续. 假如你要驳斥P，也就是说要否定P，即要证明非P成立. 那么就要列出在a连续的充分必要条件: 有定义且 存在且. 然后你去论证上述三个条件中的至少一个不成立.
一般来说，对给定命题的否定有下列几种情况:
1. 简单命题的否定，只须在命题前加上“并非”二字. 例如
P: 集合A与集合B相等.
: 并非集合A与集合B相等.
2. 复合命题的否定，主要有: (a) 两个命题P与 Q的逻辑加(或称析取)的否定， ； (b) 两个命题P与Q的逻辑乘(或称合取)的否定， ； (c) 蕴含命题 的否定， 等几种形式.
3. 对含有量词的命题的否定，可从量词上着手，即
全称命题 ， X， 其否定是 ， X；
特称命题 ， X， 其否定是 ， X.
例16. 函数 在a连续的定义为
，
则其否定命题，即 在a不连续应为
，
即 .
从上例可以看出，含有量词的命题的否定，只要将全称量词与存在量词互换， 同时将判断否定即可.
数学中反驳的主要形式是反例与归谬. 对于许多数学猜想，往往被一个反例推翻. 同样对一个普遍的命题，你若能找到一个反例，那就驳斥了那个命题，断定它为假.
数学史上最轰动最巨大的反例要算罗巴切夫斯基的非欧几何了，它推翻了“欧几里得几何公理的第五公设可以证明”这一猜想，从而使几何学开创出一个崭新的天地.
反驳的另一形式是归谬，它由对方的论题推导或引申出荒谬的结论，从而驳倒对方的论题. 而反证法是在一个命题的证明过程中通过对结论否定的归谬来实现的.
世界著名数学哲学家拉卡托斯(1922––1974)从科学哲学的高度，赋予证明与反驳以重要数学探索的发现价值，并总结出一般的数学发现的启发性规则:
规则1. 在产生一个猜想之后，就要努力去证明它，如果证明不了，就应努力去反驳它. 当你完成证明以后，要开一份证明引用过的论据(引理)的清单； 如果你去反驳它，就要找出猜想的反例(全局性反例)或可疑引理的反例(局部性反例).
规则2. 当你有了全局性反例，就应抛弃那个猜想，进而换成适当的改进了的猜想，同时把证明中会被驳倒的引理作为条件添入改进了的猜想中.
规则3. 当你有了成功的局部反例，就应检验一下，看是否可作为全局反例. 如果是，那就再应用规则2.
规则4. 如果你的反例只是局部性的而并非全局性的，那就设法用未被否定的引理换掉被该反例驳倒的引理，从而改进你的证明.
规则5. 如果你有一个反例，就设法用演绎猜测出一个更深刻的定理，使其不再成为反例.
数学家们无论是否明确上述规则，他们从事的研究工作无不自觉或不自觉地按照这些规则进行. 因此这些规则对于数学的发现与创新是至关重要的.