曲线论基本定理市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5,曲线论基本定理,第1页,第1页,一,普通结果,曲线论基本定理,给定区间,I,(,a,b,),上连续可微函数,(,s,)0 和连续函数,(,s,)，则在,E,3,中,存在弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,)，使其曲率函数,(,s,),(,s,)，并且其挠率函数,(,s,),(,s,)；,上述曲线,C,在协议意义下是唯一,曲线论基本定理考虑对象事实上是无逗留点正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证实将分成若干环节进行,曲线论基本定理证实过程中在本质上需要用到适当微分方程组求解存在唯一性结果,只要考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算关系，并注意到Frenet公式,第2页,第2页,一,普通结果,因此，下面将不加证实地引用关于齐次线性常微分方程组解存在唯一性定理,围绕着存在性，首先建立并考察联立两个齐次线性常微分方程组,联立方程组中所包括未知向量函数组,r,(,s,);,e,1,(,s,),e,2,(,s,),e,3,(,s,)能够理解成由12个普通未知函数而构成,联立方程组在给定初值条件下有满足初始条件唯一解（且在整个区间上延拓有定义）,第3页,第3页,一,普通结果,引理1,给定单位正交右手标架,r,0,;,T,0,N,0,B,0,，在曲线论基本定理条件下任取一点,s,0,I,，则联立方程组(6.1)-(6.2)满足初始条件,r,(,s,0,);,e,1,(,s,0,),e,2,(,s,0,),e,3,(,s,0,),r,0,;,T,0,N,0,B,0,唯一解正好为一条弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,)Frenet标架场,首先,证实,所讨论解函数组,r,(,s,);,e,1,(,s,),e,2,(,s,),e,3,(,s,)构成单位正交标架场,再证实,参数曲线,C,:,r,r,(,s,)为一条弧长,s,参数化曲线,进一步证实,解函数组,r,(,s,);,e,1,(,s,),e,2,(,s,),e,3,(,s,)是曲线,C,Frenet标架场第4页,第4页,一,普通结果,引理1,给定单位正交右手标架,r,0,;,T,0,N,0,B,0,，在曲线论基本定理条件下任取一点,s,0,I,，则联立方程组(6.1)-(6.2)满足初始条件,r,(,s,0,);,e,1,(,s,0,),e,2,(,s,0,),e,3,(,s,0,),r,0,;,T,0,N,0,B,0,唯一解正好为一条弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,)Frenet标架场,从上述证实过程能够看到，拟定曲线过程能够表现为拟定其附属标架场过程；从中能够体会标架空间在几何学中合理利用,第5页,第5页,一,普通结果,引理1,给定单位正交右手标架,r,0,;,T,0,N,0,B,0,，在曲线论基本定理条件下任取一点,s,0,I,，则联立方程组(6.1)-(6.2)满足初始条件,r,(,s,0,);,e,1,(,s,0,),e,2,(,s,0,),e,3,(,s,0,),r,0,;,T,0,N,0,B,0,唯一解正好为一条弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,)Frenet标架场,曲线论基本定理,给定区间,I,(,a,b,),上连续可微函数,(,s,)0 和连续函数,(,s,)，则在,E,3,中,存在弧长,s,参数化曲线,C,:,r,r,(,s,)，使其曲率函数,(,s,),(,s,)，并且其挠率函数,(,s,),(,s,)；,上述曲线,C,在协议意义下是唯一,第6页,第6页,曲线论基本定理证实,引理1阐明存在性结论成立下列证实唯一性结论.,设两条曲线,C,:,r,r,(,s,)和,C,*:,r,r,*(,s,)同时以,s,为弧长参数并含有相同曲率函数,(,s,),*(,s,)0 和相同挠率函数,(,s,),*(,s,)；要证这两条曲线协议,任取定点,s,0,I,，这两条曲线在此相应点Frenet标架分别记为,r,(,s,0,);,T,(,s,0,),N,(,s,0,),B,(,s,0,)和,r,*(,s,0,);,T,*(,s,0,),N,*(,s,0,),B,*(,s,0,)，则两个标架之间相差正交变换相应于一个刚体运动,:,E,3,E,3,由于弧长、曲率和挠率在刚体运动下都不变，故不妨设,C,*在,下像,(,C,*)在点,s,0,处Frenet标架重叠于,r,(,s,0,);,T,(,s,0,),N,(,s,0,),B,(,s,0,),再由引理1，可知,(,C,*)与,C,重叠；此即,C,*与,C,协议，结论得证,第7页,第7页,一,普通结果,曲线论基本定理阐明，无逗留点曲线曲率,0 和挠率,分别作为弧长,s,函数而共同拟定了不计位置意义下唯一一条曲线；因而，函数组,(,s,)0,(,s,)通常称为曲线,内在方程,或,自然方程,普通而言，从内在方程出发而去拟定参数方程往往是比较困难，由于通常要归结为求解曲线论基本方程通解或特解,当然，对于已知内在方程曲线，有时就能够采用反验办法拟定其参数方程全体,例,1,已知曲线,C,含有常值曲率,0,0 和常值挠率,0,0，试,拟定,其参数方程,第8页,第8页,二,平面曲线相对曲率,平面曲线在非逗留点处挠率恒为零，故而按照曲线论基本定理，有更为简朴内在方程,一个不容忽略事实是，在逗留点及其附近并没有找到能够拟定空间曲线普通完全不变量系统当然，处处为逗留点曲线只能是直线,观测第一章图1-5以及相关例题可见，空间曲线在逗留点附近有也许含有相称任意“自由度”允许单侧相差围绕逗留点处切线旋转；,而图2-10所表示平面曲线在孤立逗留点附近只有有限“自由度”允许单侧相差关于逗留点处切线反射第9页,第9页,二,平面曲线相对曲率,平面曲线在非逗留点处，有更为简朴内在方程,在逗留点及其附近并没有找到能够拟定空间曲线普通完全不变量系统处处为逗留点曲线是直线,空间曲线在逗留点附近有也许含有相称任意“自由度”；而平面曲线在孤立逗留点附近只有有限“自由度”,这种行为直观表现，就是曲线在逗留点处“迷失”了方向；,其解析表现，就是曲线Frenet标架在逗留点处没有定义，并且其在逗留点两侧单侧极限有也许不相等,假如,想象,曲线在三维空间内被弧长、曲率、挠率三个量“限定”，那么，平面曲线将被弧长、曲率“限定”，普通固定曲面上任意曲线也将被弧长和另外一个几何量“限定”,第10页,第10页,二,平面曲线相对曲率,平面曲线在非逗留点处，有更为简朴内在方程,在逗留点及其附近并没有找到能够拟定空间曲线普通完全不变量系统处处为逗留点曲线是直线,空间曲线在逗留点附近有也许含有相称任意“自由度”；而平面曲线在孤立逗留点附近只有有限“自由度”,下面将完善平面曲线完全不变量系统，而曲面上曲线相关讨论将在第六章进一步进行,在所在平面上，平面曲线在每一点处有唯一一条,法线,（即过该点且垂直于切线直线）；其连续可微单位法向量场可由单位切向和所在平面定向下列拟定,第11页,第11页,二,平面曲线相对曲率,下面将完善平面曲线完全不变量系统,在所在平面上，平面曲线在每一点处有唯一一条,法线,（即过该点且垂直于切线直线其连续可微单位法向量场可由单位切向和所在平面定向下列拟定,不妨考虑右手直角坐标系,Oxyz,下坐标平面,xOy,之上弧长参数化曲线,C,:,r,r,(,s,)，其参数方程简记为,r,(,s,),(,x,(,s,),y,(,s,)；,则其单位切向,T,(,s,),(,x,(,s,),y,(,s,),第12页,第12页,二,平面曲线相对曲率,定义1,给定二阶连续可微弧长,s,参数化平面曲线,C,:,r,=,r,(,s,),=,(,x,(,s,),y,(,s,),=,x,(,s,),i,+,y,(,s,),j,，其中,i,j,k,为,E,3,单位正交右手系基向量，称,x,轴正向,i,到,C,单位切向,T,有向夹角,为,C,有向切线方向角,，简称,切向角,，即对,有,(6.10),T,(,s,)=(,x,(,s,),y,(,s,),=(cos,(,s,),sin,(,s,).,从局部来看，,C,切向角函数,在,C,任一点附近总可取到可微单值支，这只要注意到,局部总可取之为多值函数 Arctan(,y,/,x,),或 Arccot(,x,/,y,),单值支,第13页,第13页,二,平面曲线相对曲率,在,C,能够取到可微切向角函数,局部，利用可微性能够取得许多以便,此时，(6.10)式对弧长参数求导，得曲率向量,(6.11),T,(,s,),=,(,s,)(,sin,(,s,),cos,(s,),=,(,s,)(,y,(,s,),x,(,s,).,定义2,对上述平面曲线,C,，分别称,(6.12),N,r,=,(cos(,+,/2,),sin(,+,/2,),=,(,y,(,s,),x,(,s,),(6.13),r,=,(,s,),为,C,相对主法向,和,相对曲率,(6.10),T,(,s,)=(,x,(,s,),y,(,s,)=(cos,(,s,),sin,(,s,).,C,切向角函数,在,C,任一点附近总可取到可微单值支,第14页,第14页,二,平面曲线相对曲率,显然，此时曲率是相对曲率绝对值；,相对主法向在逗留点仍然有定义，并且使,T,N,r,与所在平面定向相符，即,TN,r,i,j,k,相对曲率是平面上刚体运动（,即平移变换和旋转变换有限次复合,）不变量；而切向角不是（,参见习题,），但能够“控制”,(6.10),T,(,s,)=(,x,(,s,),y,(,s,)=(cos,(,s,),sin,(,s,).,(6.11),T,(,s,),=,(,s,)(,sin,(,s,),cos,(,s,),=,(,s,)(,y,(,s,),x,(,s,).,定义2,对上述平面曲线,C,，分别称,(6.12),N,r,=,(cos(,+,/2,),sin(,+,/2,),=,(,y,(,s,),x,(,s,),(6.13),r,=,(,s,),为,C,相对主法向,和,相对曲率,第15页,第15页,二,平面曲线相对曲率,此即阐明，,对于固定平面，其上曲线弧长和相对曲率共同构成了完全不变量系统,进一步，由(6.10)式,T,(,s,)=(,x,(,s,),y,(,s,)=(cos,(,s,),sin,(,s,),对弧长参数,s,积分得到，平面曲线,C,位置向量分量,由切向角函数,=,(,s,)和初值(,x,(,s,0,),y,(,s,0,)唯一拟定为,第16页,第16页,