数列问题解题策略12.doc

数学问题简单化
———谈高中数学备考“数列”的解题策略
江西省大余中学 钟卫平 邮编 341500
在实践教学中，发现不少同学沉浸在题海不能自拨，总以为问题有自己不知的知识或方法才能求解，倒致在数学问题面前不自信，萎缩不前。为更好的解决这一现象，现以数列为例，阐述解决问题的一种观点。
波利亚在《数学的发现》序言中说： “掌握数学就是意味着善于解题。”纵观近几年高考，主要考查三方面的内容：等差等比问题、通项公式问题以及求和问题，这三类问题的解决都有其固定的规律，若能掌握其内在的数学本质，则数列问题就简单化了，现归纳如下。
一、解数列问题首先是解等差等比数的问题。等差等比问题的解题策略是利用公式将问题转化为方程（组）或性质求解，其中通项公式与求和公式是核心，它们的应用是解决问题的关键，如下列：
例1．由正数组成的等差数列的前n项和分别为，且=（ ）
A． B． C． D．1
点拨： 由等差列性质有 ∴取，则有
，故选C。本题的难点在于条件与结论如何有效的联系起来，忽视了性质的转化功能。
例2．设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
点拨：将条件等式转化为首项与公比的方程组求解，可解得故应填.本题的易错点在于忽视公比的分类，必须对q＝1加以讨论，否则易遗漏．
由上两例，可知准确熟练把握等差等比、数列问题的公式、性质是解决这类问题的关键，它们的主要公式、性质如下：
（一）. 等差数列：等差数列中，①公式：=；；②性质：正整数m、n、p、q满足m+n=p+q，则； ；； 是等差数列。
（二）．等比数列：等比数列，①公式：=；当时，；当时，.②性质：若正整数m、n、p、q满足m+n=p+q，则；，其中：；如果…..中各项都不为零，则……..为等比数列.
二、解数列问题其次是求数列的通项公式。由递推关系求数列的通项，核心是把所给递推式变形构造成等差或等比数列来解决。应该熟练掌握这些常见的递推关系，以利于正确、快速地解决相关问题。如下例：
例3．设数列的前项和为．已知，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）若，，求的取值范围．
解：（1）依题意，，即，由此得
．因此，．
（2）由上知，，于是，当时，
，
当时，．又．
综上，所求的的取值范围是．
点拨：递推式的处理是解决本题的关键。这种递推式的处理有两种方式，第一种是依据问题的提示，将转化成的形式，进一步发现数列的特点求解；第二种处理方式是利用递推式的解题方法：两边同时除以得，然后使用叠加法求解。
例4．将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数…构成的数列为，为数列
的前n项和，且满足
（1）证明数列{}成等差数列，并求数列的通项公式；
（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和.
证明：（1）由已知，当n≥2时，,所以
即所以又 所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列.即
所以 当n≥2时时，
因此
（2）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0.
因为所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行的第三列，因此 又，
所以q=2.记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则
点拨：本题的关键点在于①利用向目标转化，其中替代，同时②中关键点在于确定在表格中具体位置。本题的难点在于递推式形式复杂，把握不了数学问题的实质，其实问题的核心就是递推式的处理与列方程。
由上可知，理解掌握常见求通项公式的方法，是解决本数问题的关键所在，现归纳几种常见的递推式求通项公式的方法如下：
①：叠加法;②，方法：叠乘法;③（其中p，q是常数，且）：参数法;④递推关系由与的关系给出　：运用互化解决;⑤（其中p，q，r是不为0的常数）：倒数法;⑥：构造法;⑦（其中p，q为常数，且满足）：待定系数法.
三、解数列问题最后一种题型是求数列的前n项和。数列的前n项和是数列另一核心要素，而数列前n项和的求法，从高考要求来看，仅局限于少数几种形式求和，理解掌握了这几种常见求和方法，那么应对高考中的求和问题就易如反掌，如下例：
例5．在数列中，
（1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。
解：（1）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（2）由（I）知,
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
数列求和,是近些年来高考中必考内容,求和的方式无非是以下几类:①等差等比数列用公式法；②折项相消法；③错位相减法；④分组求和法。熟练掌握这几种求和方法，灵活应用，面对高考，数列中的求和问题就不是难点了。
面对一个数学问题，我们首先审题，进行模式识别。如果有现成的模式，则直接给出解答，如果没有现成的模式，则运用解题策略，考虑阶梯问题（或辅助问题），有效就得出解答，无效再次回到审题。数列就这三种最常见的模式，熟练掌握，再加以灵活应用，则数列问题就简单化了。
参考文献
（1）halmos p. r.数学的心脏.数学通报，1982.4；
（2）波利亚.怎样解题.阎育苏译.北京：科学出版社，1982；
（3）罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，2001。