人教版八上教案§1324三角形全等的条件（四） (2).doc

§13．2．4 三角形全等的条件（四）
第五课时
教学目标
（一）教学知识点
直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．
（二）能力训练要求
1．经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．
2．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．
3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
（三）情感与价值观要求
通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神．
教学重点
探究直角三角形全等的条件．
教学难点
灵活运用三角形全等的条件证明．
教学方法
启发式．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
Ⅰ．创设情境，导入新课
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）

（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
（1）[生]能有两种方法．
第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．
第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三角形全等．
可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，可是它们又不是“两边夹一角的关系”，所以我没法判定它们全等．
[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，于是他判断这两个三角形全等．你相信吗？
Ⅱ．导入新课
[生]这两个三角形都是直角三角形，也许是全等的．因为它还有直角这个特殊条件．
[师]有道理．但科学是严密的，今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条件”．
做一做：
已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使∠C=90°，AB作为斜边．做好后，将△ABC剪下与同伴比较，看能发现什么规律？
（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．
作法：
第一步：作∠MCN=90°．
第二步：在射线CM上截取CB=4cm．
第三步：以B为圆心，5cm为半径画弧交射线CN于点A．
第四步：连结AB．
就可以得到所想要的Rt△ABC．（如下图所示）
将Rt△ABC剪下同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等．
可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律．
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL”）．
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？
[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS、SAS、ASA、AAS”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL”的方法判定．
[师]很好，两直角三角形中由于有直角相等的条件，所以判定两直角三角形全等只须找两个条件，但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行．
议一议：
[例1]如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．
求证：BC=AD．
分析：BC和AD分别在△ABC和△ABD中，所以只须证明△ABC≌△BAD，就可以证明BC=AD了．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴BC=AD．
[例2]如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？
[师生共析]∠ABC和∠DFE分别在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系，所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等，显然，可以看出这两个角不相等，它们又是直角三角形中的锐角，是不是互余呢？我们试试看．
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中

所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P101练习1、2．
（二）补充练习
1．①两直角三角形，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“__________”条件．
②两直角三角形，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“__________”条件．
③两直角三角形，一个锐角、一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“_________”条件．
④两直角三角形全等的特殊条件是_________和_________对应相等．
2．如图，∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD，还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面的括号中填上判定全等的理由．
①__________ ）
②____________（ ）
③____________（ ）
④____________（ ）
3．如图所示，AC=AD，∠C=∠D=90°，你能说明BC=BD吗？

4．已知∠AOB，你能否只用一块三角板，作出∠AOB的角平分线？说明作法与理由．

参考答案：
1．①SAS ②AAS ③ASA或AAS ④斜边 一条直角边
2．①AC=BD HL
②BC=AD HL
③∠CAB=∠DBA AAS
④∠CBA=∠DAB AAS
3．在Rt△ABC和Rt△ABD中
Rt△ABC≌Rt△ABDBC=BD
4．可以．
作法：在OA、OB上分别取OM=ON，过M、N用三角板分别作OA与OB的垂线，两垂线交于一点P．连结OP，OP就是∠AOB的角平分线．如图所示．
理由：
在Rt△OMP和Rt△ONP中

∴Rt△OMP≌Rt△ONP
∴∠MOP=∠NOP．
Ⅳ．课时小结
通过本节学习，我们有如下收获：
1．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判定方法──“HL”．
2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等，只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）即可．
Ⅴ．课后作业
1．课本习题13．2─7、8、12题．
2．学完全等三角形的条件，你有什么收获？
Ⅵ．活动与探究
如图，画一个两条直角边相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E、F，量出BE、CF、EF的长，改变D的位置，再重复上面的操作，你是否发现BE、CF、EF的长度之间有某种关系？能说清其中的奥妙吗？
过程：FC、BE分别在Rt△AFC和Rt△BEA中，若能证明这两个三角形全等，那么BE=AF，AE=CF，而AE=AF+FE，所以BE+EF=FC．
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠AEB=∠CFA=90°，∠ACF+∠FAC=90°
又∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°
又∵∠BAE+∠EAC=90°
∴∠BAE=∠CAF
在Rt△ABE和Rt△CAF中

∴△AEB≌△CFA
∴AE=CF BE=AF
∴CF=AF+FE=BE+EF．
结论：BE+EF=FC．

板书设计
§13．2 三角形全等的条件（四）
一、直角三角形全等的条件：
“斜边、直角边”或“HL”．
二、议一议：
例1： 例2：
三、练一练
四、课时小结
备课资料
一、参考例题
例：如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF．则：AB与CD平行吗？为什么？
分析：要说明AB与CD平行，只要证明∠BAC=∠DCA即可，我们选择证明△DCE≌△BAF．
解：AB与CD平行．

△ABF≌△ACD
∠BAF=∠DCFAB∥CD．
二、参考练习
1．选择题
（1）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个直角三角形全等； B．周长相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个直角三角形全等
D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
答案：D
（2）下列说法错误的是（ ）
A．周长相等的两个等腰直角三角形全等
B．面积相等的两个等腰直角三角形全等
C．有一条角平分线相等的两个直角三角形全等
D．有一腰上的中线对应相等的两个直角三角形全等
答案：C
2．若AD是Rt△ABC的斜边上的中线，那么△ABD≌△ADC吗？为什么？
小明是这样想的：
△ABD≌△ADC这是因为：
△ABC为直角三角形．
△ABD≌△ADC
小明思考得对吗？
答：不对，因为△ABD和△ADC不是直角三角形，△ABC是直角三角形不是它们的条件，所以说不能使用斜边、直角边来判定两个一般三角形的全等．