1、 xyO O第一种（网格节点）：第一种（网格节点）：5.1.2 二元函数插值二元函数插值第二种（散乱节点）：第二种（散乱节点）：yx0 0 注意：注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最最 邻邻 近近 插插 值值x y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。分分 片片 线线 性性 插插 值值 xy (xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O O二元函数插值：二元函数插值：设实值函数函数 f(x,y)定定义在矩形区域在矩形区域 D=a x b,
2、c y d,插插插插值节值节点集点集点集点集:Z=(xi,yj)|a x0 x1 xn b,c y0 y1 ym d.取在取在 Z 上上线性无关的函数性无关的函数组 kr x,y|k=0,1,n;r=0,1,m.其中，其中，kr x,y 是次数关于是次数关于 x 不高于不高于 n 次、次、关于关于 y 不高于不高于 m 次的次的二元二元多多项式。式。在函数空在函数空间 D D Span 00,0m,n0,nm 上上寻找二元插找二元插值多多项式式 使其使其满足插足插值条件条件此此问题就是二元函数的代数插就是二元函数的代数插值问题。如同一元的情况如同一元的情况,满足插足插值条件条件(5.11)的二
3、元的二元插插值函数是函数是唯一唯一存在存在的。的。Lagrange 插值曲面插值曲面取插值基函数取插值基函数其中其中这样的这样的 kr x,y 满足满足 因此因此,kr x,y 在点集在点集(xi,yj)上线性无关上线性无关,且易且易知知,满足插值条件满足插值条件(5.11)的插值多项式为的插值多项式为 式式(5.13)叫做叫做 Lagrange 形式的插值曲面形式的插值曲面.近似式近似式 (x,y)pnm(x,y)(5.14)叫做二元函数的叫做二元函数的Lagrange插值公式插值公式.式式(5.14)的的余项余项 或或 截断误差截断误差为为Rnm(x,y)(x,y)pnm(x,y)证明证明：Rnm(x,y)(x,y)pnm(x,y)(5.15)(5.16)证明证明：Rnm(x,y)(x,y)pnm(x,y)例例2 试利用利用f(x,y)的函数表的函数表 建立建立x为二次、二次、y为一次的二元插一次的二元插值多多项式式p21(x,y)，用以，用以计算算f(0.3,0.8)的近似的近似值。f x y-1010.50.250.5110.430.871.73解：解：由由n=2，m=1的二元插值多项式的二元插值多项式(5.13)可得可得数学符号 x0,x1,xn,y0,y1,ym,0 x,1x,nx k=0,1,n (x,y)pnm(x,y)
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