隐马尔科夫算法通俗解释.doc

HMM介绍(通俗易懂版)
Hidden Markov Models是一种统计信号处理方法,模型中包含2个序列和3个矩阵:状态序列S、观察序列O、初始状态矩阵P、状态转移矩阵A、混淆矩阵B。举个例子来说明。
Example1：
你一个异地的朋友只做三种活动：散步、看书、做清洁。每天只做一种活动。假设天气只有两种状态：晴和兩。每天只有一种天气。你的朋友每天告诉你他做了什么，但是不告诉你他那里的天气。
某一周从周一到周五每天的活动分别是{读书，做清洁，散步，做清洁，散步}----这就是观察序列O，因为你可以观察得到。
从周一到周五的天气依次是{晴，兩，晴，晴，晴}----这就是状态序列S，状态序列是隐藏的，你不知道。
根据长期统计，某天晴的概率是0.6，兩的概率是0.4。则。
从晴转晴的概率是0.7，从晴转兩的概率是0.3。从兩转晴的概率是0.4，从兩转兩的概率是0.6。则。
天气晴时，散步的概率是0.4，看书的概率是0.3，做清洁的概率是0.3。天气兩时，散步的概率是0.1，看书的概率是0.4，做清洁的概率是0.5。则。
该模型和实际情况有明显不符的地方：用一简单的状态转移矩阵A来表示状态的转移概率的前提是t时刻的状态只跟t-1时刻的状态有关，而实际上今天的天气跟过去几天的天气都有关系，而且跟过去几天的晴朗程度、兩量大小都有关系；混淆矩阵B认为今天的活动只跟今天的天气有关系，实际上今天的活动跟过去几天的活动也有关系，比如过去一周都没有打扫房间，那今天做清洁的概率就大大增加。
模型介绍完了。
评估问题
隐马尔可夫模型中包含一个评估问题：已知模型参数，计算某一特定输出序列的概率。通常使用forward算法解决。 
比如计算活动序列{读书，做清洁，散步，做清洁，散步}出现的概率，就属于评估问题。
如果穷举的话，观察序列会有2^5种，需要分别计算它们出现的概率，然后找出概率最大的。
穷举法中有很多重复计算，向前算法就是利用已有的结果，减少重复计算。
算法借助于一个矩阵Q[LEN][M]，其中M是所有状态的种数，Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj的所有可能的隐藏序列的概率之和。最终所求结果为Q[LEN-1][0]+...+Q[LEN-1][M-1]，即最后一天，所有隐藏状态下，分别满足观察序列的概率值之和。
比如Q[0][0]=p(第一天做卫生 且 第一天晴)=p(天晴)*p(做卫生|天晴)=P[0]*B[0][2]=0.6*0.3=0.18
Q[0][1]=p(第一天做卫生 且 第一天下雨)=p(下雨)*p(做卫生|下雨)=P[1]*B[1][2]=0.4*0.5=0.2
Q[1][0]=p(第一天做卫生 且 第二天晴 且 第二天做卫生)
=p(第一天做卫生 且 第二天晴)*p(天晴的情况下做卫生)
=p{ p(第一天做卫生 且 第一天晴)*p(从天晴转天晴)+p(第一天做卫生 且 第一天下雨)*p(从下雨转天晴) }*p(天晴的情况下做卫生)
={ Q[0][0]*A[0][0] + Q[0][1]*A[1][0] } * B[0][2]
Q[1][1]= ……
…… ……
可以看到计算Q矩阵的每i行时都用到了第i-1行的结果。
解码问题
解码问题是：已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列O(LEN)的隐含状态的序列。通常使用Viterbi算法解决。 
观察序列长度为LEN，则隐藏状态序列长度也是LEN，如果采用穷举法，就有M^LEN种可能的隐藏状态序列我们要计算每一种隐藏状态到指定观察序列的概率，最终选择概率最大的。
穷举法中有很多重复计算，Viterbi算法就是利用已有的结果，减少重复计算。
跟评估问题非常相似，不同点在于评估算的是和，解码算的是最大值。
Viterbi算法主要就是在计算一个矩阵Q[LEN][M]，其中Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。另外还要建立一个矩阵Path[LEN][M]，用来记录状态序列中某一状态之前最可能的状态。
举个例子，假如指定观察序列是{读书，做卫生，散步，做卫生，散步}，求出现此观察序列最可能的状态序列是什么。
Q[0][0]=p(第一天读书 且 第一天晴)=p(天晴)*p(读书|天晴)
Path[0][0]=-1;
Q[0][1]=p(第一天读书 且 第一天下雨)=p(下雨)*p(读书|下雨)
Path[0][1]=-1;
关键是从第二天开始，Q[1][0]表示：满足“第一天读书 且 第二天做卫生 且 第二天晴”的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。那么满足“第一天读书 且 第二做卫生 且 第二天晴”的所有可能的隐藏序列有哪些呢？第二天是必须满足晴天的，第二天之前的状态可以任意变。则所有可能的隐藏序列就是“晴  晴”和“雨  晴”。实际上考虑第三天（及第三天以后）时，并不需要考虑“所有”可能的隐藏序列，而只需要考虑第二天的不同状态取值，这是因为马氏过程有无后效性--tm时刻所处状态的概率只和tm-1时刻的状态有关，而与tm-1时刻之前的状态无关。
Q[1][0]=
max{ p(第一天晴 且 第一天读书 且 第二天晴 且第二天做卫生) ，p(第一天下雨 且 第一天读书 且 第二天晴 且 第二天做卫生) }
=max{ p(第一天读书 且 第一天晴)*p(天晴转天晴)，p(第一天读书 且 第一天下雨)*p(下雨转天晴) } * p(做卫生|天晴)
=max{ Q[0][0]*A[0][0]，Q[0][1]*A[1][0] } * B[0][2]
假如Q[0][0]*A[0][0] < Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=1；假如Q[0][0]*A[0][0] > Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=0。
Q[1][1]= ……
…… ……
可以看到计算Q矩阵的每i行时都用到了第i-1行的结果。

Example2：（l自行练习用）
这里设状态数目为Ｎ； 每个状态有Ｍ 个观测值； π＝（ π １， π ２，…， πＮ ） 为各状态初始向量； Ａ＝（ ａ ｉ ｊ） Ｎ×Ｎ为状态转移概率矩阵； Ｂ＝（ ｂ ｉ ｊ） Ｎ×Ｍ
为状态观测概率矩阵； Ｏ＝｛ ｏ １， ｏ ２，…， ｏ Ｔ｝ 为观测值序列； Ｑ＝｛ ｑ １， ｑ ２，…， ｑ Ｔ｝ 为状态序列。
要针对状态观测概率矩阵 ． 图７中 在最初始ＨＭＭ 中 和 都采用随机阵列表示 且
满足下式条件
（上传者ps。Bij也满足这个aij的这个条件） 
在假设状态种类数和观测种类数都为3的前提下。
O:a,c,b,b,c,b,a,c,b

根据上述的HMM中viterbi算法可得：
Q：1,2,2,2,2,2,2,2,2
通过结合O（观测）和Q（状态）矩阵可发现B中在状态1，2产生a，b，c的观测值的概率与初试矩阵不符。
O: a,c,b,b,c,b,a,c,b
Q：1, 2, 2, 2, 2, 2 ,2, 2,2
可见B中p（a/1）=1,p（b/1）=0, p（c/1）=0,
p（a/2）=1/8=0.125, p（b/2）=4/8=0.5, p（c/2）=3/8=0.375,
修正得：

将新的矩阵 B结合上述的 O A л.作为初始值.通过Ｂａｕｍ－Ｗｅｌｃｈ多序列训练算法并结合前向－后向算法判断的收敛性 即可得出模型参数 A Bл 的最终估计值.从原理上可看出 该方法要求样本的观测序列要尽量充分．后面的实验会发现在较充分的样本下 该训练方法得到使得对应的接近全局最大的比较精确的 ＨＭＭ ．

下面给出两种算法的Java代码：（尚未测试，请自行验证）
package hmm;

/**
* @author Orisun
* date 2011-10-20
*/
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

public class HMM {
ArrayList state;
ArrayList observation;
double[] P;
double[][] A;
double[][] B;
int M;
int N;

HMM() {
// 天气只有两种状态：晴和兩。每天只有一种天气。
state = new ArrayList();
state.add("sunny");
state.add("rain");
M = state.size();
// 活动只有三种：散步、看书、做清洁。每天只做一种活动。
observation = new ArrayList();
observation.add("walk");
observation.add("read");
observation.add("clear");
N = observation.size();
// 初始状态矩阵。某天晴的概率是0.6，兩的概率是0.4。
P = new double[] { 0.6, 0.4 };
// 状态转移矩阵。
A = new double[M][];
// 从晴转晴的概率是0.7，从晴转兩的概率是0.3
A[0] = new double[] { 0.7, 0.3 };
// 从兩转晴的概率是0.4，从兩转兩的概率是0.6
A[1] = new double[] { 0.4, 0.6 };
// 混淆矩阵
B = new double[M][];
// 天气晴时，散步的概率是0.4，看书的概率是0.3，做清洁的概率是0.3。
B[0] = new double[] { 0.4, 0.3, 0.3 };
// 天气兩时，散步的概率是0.1，看书的概率是0.4，做清洁的概率是0.5。
B[1] = new double[] { 0.1, 0.4, 0.5 };
}

public double forward(ArrayList observe) {
double rect = 0.0;
int LEN = observe.size();
double[][] Q = new double[LEN][];
// 第一天计算，状态的初始概率，乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。
Q[0] = new double[M];
for (int j = 0; j < M; j++) {
Q[0][j] = P[j] * B[j][observation.indexOf(observe.get(0))];
}
// 第一天以后的计算，首先从前一天的每个状态，转移到当前状态的概率求和，然后乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。
for (int i = 1; i < LEN; i++) {
Q[i] = new double[M];
for (int j = 0; j < M; j++) {
double sum = 0.0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
sum += Q[i - 1][k] * A[k][j];
}
Q[i][j] = sum * B[j][observation.indexOf(observe.get(i))];
}
}
for (int i = 0; i < M; i++)
rect += Q[LEN - 1][i];
return rect;
}

public ArrayList viterbi(ArrayList observe) {
ArrayList sta = new ArrayList();
int LEN = observe.size();
double[][] Q = new double[LEN][];
int[][] Path = new int[LEN][];
// 第一天计算，状态的初始概率，乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。
Q[0] = new double[M];
Path[0] = new int[M];
for (int j = 0; j < M; j++) {
Q[0][j] = P[j] * B[j][observation.indexOf(observe.get(0))];
Path[0][j] = -1;
}
//第一天以后的计算，首先从前一天的每个状态，转移到当前状态的概率的最大值，然后乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。
for (int i = 1; i < LEN; i++) {
Q[i] = new double[M];
Path[i] = new int[M];
for (int j = 0; j < M; j++) {
double max = 0.0;
int index = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
if (Q[i - 1][k] * A[k][j] > max) {
max = Q[i - 1][k] * A[k][j];
index = k;
}
}
Q[i][j] = max * B[j][observation.indexOf(observe.get(i))];
Path[i][j] = index;
}
}
// 找到最后一天天气呈现哪种状态的概率最大
double max = 0;
int index = 0;
for (int i = 0; i < M; i++) {
if (Q[LEN - 1][i] > max) {
max = Q[LEN - 1][i];
index = i;
}
}
System.out.println("出现最可能的隐藏序列的概率是"+max);
sta.add(state.get(index));
// 动态规划，逆推回去各天出现什么天气概率最大
for (int i = LEN - 1; i > 0; i--) {
index = Path[i][index];
sta.add(state.get(index));
}
// 把状态序列再顺过来
Collections.reverse(sta);
return sta;
}

public static void main(String[] args) {
HMM hmm = new HMM();

ArrayList obs_seq = new ArrayList();
obs_seq.add("read");
obs_seq.add("clear");
obs_seq.add("walk");
obs_seq.add("clear");
obs_seq.add("walk");

double ratio = hmm.forward(obs_seq);
System.out.println(ratio);

ArrayList sta_seq = hmm.viterbi(obs_seq);
System.out.println(sta_seq.toString());
}
}