第22章《相似形》教学设计.doc

第22章 相似形
单元目标
1、了解比例的基本性质，了解线段的比，成比例线段。
2、了解黄金分割比及黄金数。
3、了解图形的相似，掌握相似图形的性质以及相似多边形的性质。
4、了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件。
5、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
6、会利用相似解决生活中的实际问题。
单元导读
本章重点难点：
重点：相似三角形的性质及判定。
难点：相似三角形的性质及应用。
22.1 比例线段(3课时)
学习目标要求
1、了解相似图形、相似多边形、相似比及比例线段等概念。
2、了解比例线段的性质。
3、了解黄金分割比及黄金数。
教材内容点拨
知识点1
相似多边形：
从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形。从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形。
知识点2
比例线段：
1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别为m，n，则m∶n就是线段a，b的比，记作a∶b＝m∶n或，其中a叫做比例前项，b叫做比例后项。
2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段。例如线段a、b、c、d，如果，则称线段a、b、c、d成比例线段，这里要注意，a、b、c、d必须按顺序写出，不能写成或。
3、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项：
若，则称a、d为比例外项，b、c、为比例内项，d为第四比例项，如果b＝c，则称b为a、c的比例中项。
知识点3
比例性质：
1、基本性质：如果，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd得。
2、合比性质：如果，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得。
3、等比性质：如果（），则，运用这个性质时，一定要注意的条件。
知识点4
黄金分割：
把线段AB分成两条线段AP、PB（AP＞PB），如果AP是线段PB和AB的比例中项，则线段AP把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。
典型例题点拨
例1、已知，且是、的比例中项，则 ，若是、的比例中项，则 。
点拨：解此题要注意两点，1、比例条件的常规使用方法。2、比例中项的意义。
解答：∵，可令，则，又∵是、的比例中项，∴，∴，∴；若是、的比例中项，则，即
，∴。
例2、已知，求：的值。
点拨：注意到分子分母中的各项系数是一致的，可联想到比例的等比性质。
解答：∵，∴，由等比性质可得。
例3、已知，求。
点拨：本题考查比例的基本性质，易错点是由化成比例式时错成，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解。
解答：由比例的基本性质得，∴，∴。
例4、如图△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E点，若AD︰DB＝2︰3，AC＝15，求DE的长。
点拨：题中条件“CD平分∠ACB交AB于D”是至关重要的，联想到“平行线、角平分线、等腰三角形”这三个关键词之间的关系，可得出△DEC是一个等腰三角形，将所求DE长转换为求EC长。
解答：∵CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E点，∴DE＝EC，又∵AD︰DB＝2︰3，∴AE︰EC＝2︰3，令AE＝2x，则EC＝3x，由AC＝15可得，解得，∴DE＝EC＝。
例4、在比例尺为1：8000的安庆市城区地图上，集贤南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为（ ）。

A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
点拨：注意领会比例尺的含义，此处的尺不是尺子的意思，而是尺度的含义。
解答：∵比例尺为1：8000，长度约为25 cm，即图中1cm表示实际中的8000cm，∴实际长度应为
cm，即2000m，答案选D。
考点考题点拨
1、中考导航
（1）线段的比；
（2）比例线段及比例性质；
（3）黄金分割。
2、经典考题追踪
例1、（06遂宁）如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA、PB当PA2=PB·AB,即PA≈0.618AB时,则称点P是线段AB的黄金分割点,现已知线段AB=10,点P是线段AB的黄金分割点,如图所示,那么线段PB的长约为（ ）。
A、6.18 B、0.382 C、0.618 D、3.82
点拨：根据黄金分割比约为0.618可知AP约为0.618×10＝6.18，从而可知PB约为10－6.18＝3.12。
解答：D
例2、（06河南）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为__________。
点拨：由图1知一个小菱形的一条对角线的长度为8cm，所以小菱形和大菱形的相似比为1︰11，所以共需小菱形11×11＝121个。
解答：121个。
易错点点拨
易错点1概念理解不清：
易错点导析：相似多边形必须各边对应成比例，且各角相等，而不是只要各角相等或各边对应成比例即可。
例：下列说法正确的是（ ）
A 两个矩形相似 B 两个梯形相似
C 两个正方形相似 D 两个平行四边形相似
错解：A
错解点拨：相似多边形必须各边对应成比例，且各角相等。
正解：C
易错点2、考虑问题不全面：
易错点导析：有很多开放题结果不唯一，可以有很多种种不同的结果，考虑问题应该全面，而不能只考虑其中一种情况。
例：已知线段3，4，6与是成比例线段，则。
错解：
错解点拨：本题是一道开放题，结果不唯一，可以有、、，所以x应有3种不同的结果，而不仅仅只有一种。
正解：、或。
拓展与创新
1、已知，则 。
点拨：仿照等比性质的证明方法，令，则可得关于a，b，c的一个以k为字母系数的三元一次方程组，解这个方程组即可得a，b，c（用字母系数k表示），进而可得。
解答：设，则，解得，
∴10∶3∶7。
2、若，则为（ ）。
A．　　　 　B． C．　　　　　D．
点拨：由利用比例基本性质可得关于x，y的一个关系式，从而可得的值。
解答：∵，∴，∴，解得，选A。
3、已知：，则_______，_______。
点拨：本题主要考查比例的等比性质，利用等比性质可直接求解。
解答：∵，∴，且，∴。
4、雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是___________m。
点拨：如图所示，由关线的直线传播性，可得∠AEB＝∠DEC，从而有，即，解之即可得旗杆高度。
解答：30m。
学习方法点拨
1、 对于相似图形及相似多边形的理解，可在生活中寻找实例，加强几何直观上的理解，也可利用多媒体信息技术，在电脑上做出相应的图形，帮助形成相似的概念。
2、对于比例性质的学习，应加强利用比例性质解决问题的训练，以形成应用比例性质的能力。
3、在生活中深入理解黄金分割点和黄金分割比的意义，领会黄金分割的美感。
随堂演练
1、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似。其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上)。
2、量得两条线段，的长度分别为8㎝，32㎝，则∶= 。
3、如图，点C是AB的中点，点D在BC上，AB=24，BD=5，
A
D
C
B
（1）AC∶CB＝ ；AC∶AB＝ ；
（2）；；。
4、若x是8和4的比例中项则x的值为（ ）
A．　　　B． C．　　　D．以上答案均不对
5、已知，则，，。
6、若，则；若，则∶= 。
7、已知，则k等于（ ）
A．1　　　　B． C．　　　　　D．
8、已知A、B两地的实际距离AB＝5千米，画在地图上的距离＝2㎝，则这张地图的比例尺是（ ）。
A、 2∶5 B、 1∶25000 C、 25000∶1 D、 1∶250000
9、 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则下列等式中成立的是（ ）
A．AB2=AC·CB　　　　B．CB2=AC·AB C．AC2=CB·AB　　　　D．AC2=2BC·AB
10、把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）
A．　　　B． C．　　　　　D．
11、已知 。
12、将数48分成三部分，且三数之比为2:4:6，则最小数是（ ）
A．8　　　　　B．16 C．24　　　　D．4
13、两个相似三角形的相似比系数为，如果它们的周长之差4cm，那么这两个相似三角形的周长分别是 。
14、三线段、、中，的一半的长等于的四分之一长，也等于的六分之一长，那么这三条线段的和与的比等于（ ）
A B C D
15、若，则
16、如果，那么
17、已知三个数1，2，，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是________。
18、已知：如图，在中，，，，且
（1）求的长；（2）求证：。
随堂演练答案
1、②、③2、1∶43、（1）1∶1，1∶2；（2）12∶5，7∶24，19∶74、C。
5、，， 6、， 7、C 8、D 9、C 10、B 11、0 12、A
13、8cm和4cm 14、C 15、2或－3 16、 17、、或
18、（1）设，则由得，∴，即（2）证明：， ∴，即。

22.2 相似三角形的判定（3课时）
学习目标要求
1、掌握相似三角形的概念。
2、掌握两个三角形相似的条件。
3、能用两个三角形相似的条件解决问题。
教材内容点拨
知识点1
相似三角形：
1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。
2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。
3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置，例如，△ABC与△DEF中，A点与E点对应，B点与D点对应，C点与F点对应，则应记作△ABC∽△EDF。
4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。
5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。
知识点2
相似三角形判定方法：
相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。
1、“AA”：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。可简单的说成：两角对应相等的两个三角形相似。
2、“SAS如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、“SSS”：如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：三边对应成比例的两个三角形相似。
4、“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。
典型例题点拨
例1、已知:如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:ΔABC∽ΔEAD。
点拨：题中提供了两个条件，一个是关于边的，一个是关于角的，而关于边的条件可转换为角之间的关系，从而可得两个角之间的关系，联系到要求证的结论，可联想到用“AA”来证。
解答：∵AD＝DB，∴∠3＝∠B，又∵∠1＝∠2，∠4＝∠B＋∠2，∠BAC＝
∠３＋∠１，∴∠4＝∠BAC，在△ABC和△EAD中，
∠3＝∠B
∠4＝∠BAC
∴ΔABC∽ΔEAD。
例2、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？
点拨：根据条件“BP＝3PC ，Q是CD的中点”可知，结合∠C＝∠D＝90°，可用“SAS”求证。
解答：∵BP＝3PC ，Q是CD的中点，∴，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，在ΔADQ与ΔQCP中，

∠C＝∠D

∴ΔADQ∽ΔQCP。
例3、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
解答：（1）∵∠ACP＝∠PDB＝120°，当＝，即＝，也就是CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB。
（2）∵△ACP∽△PDB。∴∠A＝∠DPB，
∴　∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB
＝∠APC＋∠A＋∠CPD
＝∠PCD＋∠CPD
＝120°。
1
2
3
例4、（2006年福建省南平市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：
（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由：
（2）若设，，当取何值时，最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？
点拨：本题主要考察对全等三角形和相似三角形的理解与应用，根据条件注意到
△ABE∽△DEH，并由此得到，从而得到关于x、y的一个条件式，进而得到y与x的一个函数，这是解决第（2）小题的关键；在第（3）小题中，则要从果溯源，要使△BEH∽△BAE，则必须，由此得到关于x的一个方程，解这个方程即可。
解答：（1）AE＝CG，∵四边形ABCD、EBGF都是正方形，∴∠1＝∠2，且AB＝AC、BE＝BG，∴△ABE≌△CBG，∴AE＝CG（全等三角形的对应边相等）。
（2）在△ABE和△DEH中，∠D＝∠A＝90°，∠1＝∠3＝90°－∠AEB，∴△ABE∽△DEH，∴，即，得，∴当时，。
（3）若△BEH∽△BAE，则，即，解得，∴当E点运动到中点时，△BEH∽△BAE。
考点考题点拨
1、中考导航
中考中对相似三角形的考察往往结合其他内容例如平行线、平行四边形来进行，要熟练掌握相似三角形的四种判定方法，特别是“AA”。
2、经典考题追踪
例1、（06天门）点E是 ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有（ ）。
A、2对 B、3对 C、4对 D、5对
点拨：将△BCG、△ADG、△ABC、△ACD分别标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，则有Ⅰ和Ⅱ、Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅱ和Ⅳ五对相似三角形。
解答：选D。
1
2
3
4
例2、（06苏州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M。
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB＝9，求BM。
点拨：由条件“AB＝2CD，E是AB的中点”可得BE＝CD，从而可知四边形

DEBC是平行四边形，由此可证（1），在（1）中结论成立的前提下，利用
相似三角形“对应边成比例”的性质，可求BM。
解答：（1）∵AB＝2CD，且E是AB的中点，∴BE＝CD，又∵BE∥CD，
∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△EDM∽△FBM；
（2）∵△EDM∽△FBM，∴（相似三角形的对应边对应成比例），∵F是CD的中点，∴，∴，令BM＝x，则DM＝2x，∴BD＝3x＝9，∴x＝3，∴BM＝3。
例3、（06年锦州）点D是△ABC中AB边上的一点，过点D作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线最多有____条。
点拨：要使所截得的三角形与△ABC相似，则所截三角形的三个内角与△ABC的三个角对应相等，如果所截三角形与△ABC以∠A为公共角，则以有一个角已经相等，只要另一个角对应相等即可，由此有∠1＝∠B、∠2＝∠C或∠3＝∠B、∠ADF＝∠C两种情况；如果所截三角形与△ABC以∠B为公共角，则同理也有两种情况，所以经过D点共有4种不同直线可截三角形与△ABC相似。
解答：4。
易错点点拨
易错点1、相似三角形识别不准确。
易错点导析：两个相似三角形中对应角相等，对应边对应成比例，然而不对应的角和不对应的边之间并没有特别的关系，在应用相似三角形的性质时要特别注意边、角的对应，不能随便得出角相等，边成比例。
例1、如图，△ABC是等边三角形，AB＝3cm，分别延长BC、CB至E、D，使得CE＝2cm，∠EAC＝∠D，求BD的长。
错解：BD＝2cm。
错解点拨：由题中条件可知△ABD∽△ECA，其中A点与E点对应，D点与A点对应，B点与C点对应，∴，而不是。
解答：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠EAC＝∠D，∴△ABD∽△ECA，∴，即，解得BD＝4.5cm。
例2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______。
错解：△DAC。
错解点拨：由题中条件可知∠EAB＝∠DAC，容易使人设想△AEB与△ACD相似，但是∠E与∠C不一定相等，∴△AEB与△ACD不一定相似，实际上，由于∠E是△AEB与△CEA的公共角，∴应该有△AEB∽△CEA。
正解：△CEA。
易错点2、考虑问题不全面，思维不谨慎。
例：如图，Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，则与△ABD相似的三角形有几个？分别是哪几个？
错解：△ADC。
错解点拨：通过图形观察，容易得到△ABD∽△CAD，但是还有△ABD∽△CBA应引起我们的注意。
正解：与△ABD相似的三角形有2个，分别是△CAD和△CBA。
易错点3、考虑问题时思维无序，方法混乱。
例：如图，平行四边形ABCD中，C是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形（不包括全等）共有（ ）。
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
错解：B
错解点拨：在做这类题时，如果不按照一定的方法，思维很容易混乱，造成少解或重复计数，可以先去掉BD，考虑较简单的情况（如图所示），此时有△CFG∽△DFA、△CFG∽△BAG、△BAG∽△DFA三对，添加了BD后，又增加了△ADE∽△GBE和△ABE∽△FDE两对，所以共有5对。
正解：5。
拓展与创新
1、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内回答下列问题：
(1)图中共有 个三角形。
(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。
点拨：（1）中三角形的个数可以按照单个三角形和复合三角形两类来分开数；（2）中注意到∠DAE＝45°，∴有△ADE∽△BAE、△ADE∽△DAC两对。
解答：（1）图中有△ABD、△ADE、△AEC、△ABE、△ADC、△ABC、△AFG共7个三角形。
（2）图中共有两对相似三角形，分别是△ADE∽△BAE、△ADE∽△DAC。
2、如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)、B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 或 时，使得由点B、O、C组成的三角形与ΔAOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)。
点拨：要使△BOC∽△AOB，因为∠O是公共角，根据“SAS”，只要即可，由此可得，解得OC＝1，∴C点的横坐标可为±1。
解答：（1，0）、（-1，0）
3、如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，BP⊥CM于P，N在BC上且BN＝BM，连结PD。
求证：DP⊥NP。
点拨：要证DP⊥NP，只要能证明∠BPN＝∠CPD即可，可考虑证明△BPN∽△CPD，利用Rt△BPM∽Rt△CPB，得比例式，等量代换后得，再完成∠PCD＝∠PBN的证明，即可得证。
证明：∵BP⊥CM于P，∴∠BPM＝∠CPB＝90°，又∵∠CBM＝90°，∴∠PBM＝∠BCP＝90°—∠CBP，∴Rt△BPM∽Rt△CPB，∴，∵BC＝CD，∴，∵∠PCD＝∠PBN＝90°—∠BCP，∴△BPN∽△CPD，∴∠DPC＝∠NBP，∴∠DPN＝∠CPB＝90°，∴DP⊥NP。
学习方法点拨
注意相似三角形的对应顶点及对应边，即两个相似三角形是通过什么样的变换对应在一起的，在学习的初始阶段，可以制作一些模型，帮助形成相应的几何直观。
随堂演练
1、如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽。

第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（4）题
2、如图，cm，则cm。
3、如图，在中，AC是BC、DC的比例中项，则∽____。
4、如图，在四边形ABCD中，cm，cm，cm，cm，则CD的长为__________cm。
5、如图，在正方形网格上有6个三角形：①，②
，③，④，⑤，⑥，其中②-⑥
中与①相似的是 。
第（5）题
6、在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝ 。
7、如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有__________对。
8、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（ ）
A、 1对　　B、 2对 C、 3对　　D、 4对
9、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（ ）
A. ∠B＝∠C B. ∠ADC＝∠AEB C. BE＝CD，AB＝AC D. AD∶AC＝AE∶AB

第（7）题 第（8）题 第（9）题
10、如图，D是△ABC的边AB上一点，在条件（1）∠ACD＝∠B，（2）AC2＝AD·AB，（3）AB边上与点C距离相等的点D有两个，（4）∠B＝∠ACB中，一定使△ABC∽△ACD的个数是（　　）
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　 　D.4
11、如图，E是平行四边形ABCD边BC延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（ ）。
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

第（10）题 第（11）题 第（13）题
12、有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（ ）
A．全等 B．相似 C．既不全等与也不相似 D．无法确定
13、已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=90° 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：ΔEAC∽ΔCBF。
14、如图，在中，，，；在中，，，，试判断这两个三角形是否相似。

第（14）题 第（15）题 第（16）题
15、如图，在梯形ABCD中，，求AB的长。
16、已知：如图所示，D在△ABC上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且，
求证：△AEF∽△ACD。
17、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据

随堂演练答案
1、∠B，∠ACB
2、1.5cm
3、△BAC
4、13.5cm
5、③、④、⑤
6、或
7、6对
8、C。9、C
10、B
11、C
12、B
13、∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠E＋∠ACE＝45°，又∵∠ECF＝45°，∴
∠E＋∠F＝45°，∴∠ACE＝∠F，同理∠BCF＝∠E，∴ΔEAC∽ΔCBF。
14、∵∠A＝∠E＝47°，且，∴，△ABC∽△EFD。
15、在梯形ABCD中，△OAB∽△OCD，∴，∴，解得AB＝4.5。
16、∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，又∵，∴，∴，∵∠A是公共角，∴△AEF∽△ACD。
17、（1）△ADE∽△ABC，“AA”（2）△AED∽△ABC，“AA”（3）△CDE∽△CAB，“AA”（4）△ABE∽△CDE“SAS”（5）不存在相似三角形。

22.3 相似三角形的性质
学习目标要求
1、掌握相似三角形的性质。
2、能应用相似三角形的性质解决问题。
教材内容点拨
知识点：相似三角形性质
1、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
2、相似三角形周长的比等于相似比。
3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
典型例题点拨
例1、两个相似三角形对应中线的比是，大三角形的面积是小三角形面积的________倍。
点拨：根据相似三角形对应中线之比可得相似比，近而得出这两个三角形的面积比。
解答：∵两个相似三角形对应中线的比是，∴这两个相似三角形的相似比为，∴大三角形的面积是小三角形面积的倍。
例2、△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长。
点拨：此题根据相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比，可知相似比为，由此根据△ABC各边长可求出△A′B′C′的各边长。
解答：∵△ABC中，AB＝12 cmBC＝18 cm，AC＝24 cm，∴△ABC周长为54cm，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为，∴，∴，，。
例3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为________米（精确到0.1米）。
点拨：注意到光线的反射定律：入射角等于反射角，可知△CDE∽△ABE。
解答：∵△CDE∽△ABE，∴，∵CD＝1.6，DE＝2.4，BE＝8.4，∴AB＝5.6米。
例4、例、已知：如图△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，，
(1)求证：△ABD∽△ACB；
(2)求△ABD与△ACB的周长的比，△ABD与△ACB的面积的比。
点拨：根据题中提供的两个与角相关的条件，要证明两个三角形相似，可联想到“AA”，证明两个三角形相似后，条件“”的作用在于提供了相似三角形的相似比，由此可求相似三角形的周长比和面积比。
解答：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，∵∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB。
（2）∵△ABD∽△ACB，且，∴△ABD与△ACB的相似比为，∴△ABD与△ACB的周长的比为，△ABD与△ACB的面积的比为。
例５、如图，△ABC的底边BC＝a，高AD＝h，矩形EFGH内接于△ABC，其中E，F分别在边AC，AB上，G，H都在BC上，且EF＝2FG，求矩形EFGH的周长。
点拨：由题目条件中EF=2FG得要想求出矩形的周长，必须求出EF与高AD=h的关系，由EF∥BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。此题还可以进一步求出矩形的面积，若对题目再加一个条件：AB⊥AC，那么还可以证出FG2=BG·CH，通过这些联想，就会对题目的内在联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。
解答：设FG＝x，
∵EF＝2FG，∴EF＝2x，
∵EF//BC ，∴△AFE∽△ABC，
又AD⊥BC，设AD交EF于M，则AM⊥EF，
∴
即(AD-DM)/AD＝2x/a
∴(h-x)/h＝2x/a
解之，得x＝
∴矩形EFGH的周长为6x＝。
考点考题点拨
1、中考导航
会应用相似三角形性质解决生活中的实际问题，有利用所学内容解决身边的问题的意识，例如会利用自己的步长和身高求出一棵大树或大厦的高度。
2、经典考题追踪
例1、（06遂宁）已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位: cm)分别为（ ）
A、10,25 B、10,36或12,36 C、12,36 D、10,25或12,36
点拨：本题看起来有很多种情况，比较复杂，但可以用整体观点来考察，由于这两个三角形相似，∴它们的周长之比等于相似比，∴△ABC与所作三角形的相似比大于1，即所作三角形应该比△ABC小，∴在选择作边的木料时，只有选长为30cm的细木料，而将长为60cm的细木料分成两段，而且由于△ABC与所作三角形的相似比大于1，△ABC中只有长为50cm或60cm的边与30cm长的边对应，即相似比分别为或2，解得答案有两种。
解答：∵△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm，∴△ABC的周长为130cm，而两根细木料的长度分别为30cm和60cm，和最大只有90cm，∴所作三角形应比△ABC小，∴只能选长为30cm的木料为所作三角形的一边，且其只能与△ABC中的长为50cm或60cm的边相对应，即△ABC与所作三角形的相似比应为或2，当相似比为时，解得所作三角形的两边分别为12和36cm，当相似比为2时，解得所作三角形的两边分别为10cm和25cm，这两种情况下，所作三角形的两边长之和都小于60cm，∴答案有两种情况，分别为10cm,25 cm或12 cm,36 cm，选D。
G
例2、（06广西柳州）如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6m，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？
点拨：光线是沿直线传播的，之所以看不见水塔，是因为小张的眼睛、教学楼顶、水塔顶位于一条直线上，∴△EFG∽△AFB∽△DFC，根据相似三角形的性质可求BG。
解答：由图可知，△EFG∽△AFB∽△DFC，∴，，即，，∴，，∴BC＝FC－FB＝6.25FG＝30，解得FG＝4.8m，FB＝60m，∴小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有60m。
例3、（06海南）如图7，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是 米。
点拨：同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，由此可求出DE。
解答：∵同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴，
即，解得DE＝7.5米。
易错点点拨
易错点1、审题不严，粗心大意，把握细节的能力不强。
易错点导析：在处理问题时，粗心大意，对一些关键词语没有仔细体会，表现为细节上的失误，而这一旦形成习惯后，将对数学学习形成巨大的障碍。
例1、若把各边分别扩大为原来的5倍，得到，下面结论不可能成立的是（ ）
A．∽ B．与的相似比为
C．与的各对应角相等 D．与的相似比为
错解：B
错解点拨：对扩大为和扩大了这两句话理解不清，扩大为原来的5倍意即扩大到原来的5倍，而扩大了5倍则意即扩大到原来的6倍。
正解：B
拓展与创新
1、如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF。若△ABC的边长为a。
（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？
（2）分别求出这两个三角形的面积。
点拨：D、E、F分别为等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴DE、EF、DF分别平行且等于△ABC三边的一半，根据相似三角形性质：三边对应成比例的两个三角形相似，可知△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2，在求出△ABC的面积后，根据相似三角形性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求△DEF的面积。
解答：（1）∵D、E、F是等边三角形ABC各边的中点，∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，∴△DEF与△ABC相似，且相似比为1︰2。
G
B
C
（2）∵△ABC的边长为a，∴△ABC的面积为，△DEF的面积为。
2、如示意图，小华家（点A处）和公路（）之间竖立着一块35m长且平行于公
F
路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，
并将盲区内的那段公路记为BC，一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的
时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1
m）。
点拨：所谓视点A的盲区，即在视点A处看不到的公路区域，如图所示，在视点
A处看不到公路区域为BC段，由于光线的直线传播性，BC和DE与光线组成的两
个三角形相似，通过相似三角形性质可求出点A到公路的距离。
解答：由图可知△ABC∽△ADE，∴，又∵一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的
时间是3s，∴BC＝50m，DE＝35m，GF＝40m，∴，解得AF＝93m，∴小华家到公路的距离AG＝AF＋FG＝133m。
学习方法点拨
通过制作几何模型，加强对相似三角形性质的理解，特别是相似三角形的第一个性质的理解。
加强对相似三角形性质的应用训练，从而加深对相似三角形性质的认识。
要学会在生活中应用相似三角形的性质，提高利用相似三角形性质解决实际问题的能力。
随堂演练
1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。
2、如图，已知△ADE∽△ABC，且∠ADE＝∠B，则对应角为_____，对应边为__ 。

3、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝3 cm，A′B′＝4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
4、已知△ABC∽△A′B′C′，A和A′，B和B′分别是对应点，若AB=5 cm，A′B′=8 cm，AC=4 cm，B′C′=6 cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________，A′C′＝________，BC＝________。
5、如图，已知DE∥BC，△ADE∽△ABC，则＝________＝________。

6、若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B