江西省八所重点中学2015届高三4月联考数学（文）试题.doc

江西省八所重点中学2015届高三4月联考数学（文）试题
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为坐标原点，点坐标为(－2，1)，在平面区域上取一点，则使取得最小值时，点的坐标是( )
A.(0，0) 　 B. (0，1) C. (0，2) 　 D. (2，0)
4．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（ ）
A. B. C.6 D.
6．正项等比数列满足：，若存在，使得，则的最小值为(　　)
A. B. C. D.
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是奇函数 B.在上递增
C.是周期函数 D.的值域为

8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
10．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. (1,2] B. [2 +) C. (1,3] D. [3，+)
11. 已知为球的直径，是球面上两点，且若球的表面积为，则棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知实数，则的概率为 .
14. 已知函数则满足不等式的的取值范围
是 .
15.在数列中，已知，记为数列的前项和，
则 .
16．在中，，则的面积为 .
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）在直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线
(1)求的值
(2)若点分别是角始边、终边上的动点，且，求面积最大时，点
的坐标．

18.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：
后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率.

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离.

20.（本小题满分12分）动圆过点，且与直线相切，圆心为。
(1) 求的轨迹方程，
(2) 直线与圆：相切，并与的轨迹相交于两点，以为直径的圆恒过圆的圆心，当值最大时，求直线的方程.

21．（本小题满分12分）设函数
(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(2) 当时，的最大值为，求的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：
22．（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)已知中，，外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．
（1）求证：；
（2）求证：．

23．（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值．

24．（本小题满分10分）(选修4－5：不等式选讲)已知函数（其中为实常数）．
(1)若集合是关于的不等式的解集的子集，求实数的值范围；
(2)在(1)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
江西省八所重点中学2015届高三联考数学（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
B
B
C
B
C
C
C
C
C
A
B
二．填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题
17.解：(1)由射线的方程为，可得， ……2分
　　　故＝. ……………5分
(2)设.
　在中因为， ……………………………………6分
　即，所以≤9 …………………………8分
．当且仅当，即取得等号. …………10分
　所以面积最大时，点的坐标分别为．…………12分
18.解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 …… 2分
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，解得
即中位数的估计值为 ………5分
（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），………6分
车速在的车辆数为：（辆） ………7分
设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本事件有：
共15种 ……………… 10分
其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：
共8种 ………11分
所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为. ………………12分
19.（1）证明：由条件有
∴ 平面，∴
又∵ 是的中点，∴
∴平面 ∴
由已知，∴平面 6分
（2）………8分

………10分

点到平面的距离为. ………12分
20.解：（1）易知的轨迹为顶点在原点，焦点为的抛物线，
所以的轨迹方程为. ………4分
（2）设直线方程为，则有
联立
得
设则 ………7分

以为直径的圆恒过圆的圆心，

………10分
,当时
此时直线的方程为 ………12分
21.解：（1）当时，

所以曲线在点处的切线方程为 ………4分
(2)
令得 ………6分
① 当时，在递减，在递增
当时，

② 当即时，在和递减，在递增
解得,所以
③ 当即时，在递减,
④ 当即时，在和递减，在递增，
解得,所以
⑤ 当即时，在递增，不合题意 ………11分
综上所述：的取值范围为 ………12分
第（2）问另解：

当时的最大值为，等价于对于恒成立，
可化为对于恒成立 ………7分
令，则
于是在上递增，在上递减，

的取值范围是………12分
22．解：(1)证明：、、、四点共圆
．………………2分

且,
…………4分
．………………5分
(2)由(1)得,又,
所以与相似,
，…………7分
又,　　，
根据割线定理得，……………9分
．……………10分
23．解：（Ⅰ）化简为，
∴直线的直角坐标方程为； ……………………………………………4分
（Ⅱ）设点的坐标为，
得到直线的距离， ………………………………………6分
即，其中．
当时，． …………………………………………10分.
24．解：（Ⅰ）由得，
∴， 即 ………3分
∴，。 ………5分
（Ⅱ）只需的最小值………6分
令，
在(1)的条件下，
则
当即时取等号，
∴的最小值为0， ………9分；
故实数的取值范围是。 ………10分

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