湖北省天门中学等2013届高三上学期期中联考数学理试题.doc

湖北省天门中学等2013届高三上学期期中联考数学理试题
考试时间：2012年11月19日上午8：00-10：00 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡相应的位置）．
1．设数列{xn}满足lnxn＋1＝1＋lnxn，且x1＋x2＋x3＋…＋x10＝10.则x21＋x22＋x23＋…＋x30的值为 (　　)
A．11·e20　　 B．11·e21　　 C．10·e21　　 D．10·e20

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1 ＋a2009，且A、B、C三点共线(O为该直线外一点)，则S2009等于 (　　)
A．2009　　　 B.　　　 C．22009　　　 D．2－2009

3．在锐角△ABC中，若，则的取值范围是（ ）
A．（－1，1） B．（1，+∞） C．（ D．）
4设，，，则大小关系（ ）
A. B. C. c是 (　　)

A．(2，) B．(4，)
C．(2，) D．(4，)

6．设0＜x＜1，a，b都为大于零的常数，则＋的最小值为 (　　)
A．(a－b)2 B．(a＋b)2
C．a2b2 D．a2

7．已知数列｛an｝为等差数列，若，且它们的前n项和为Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为（ ）
A．11 B．19 C．20 D．21
8．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．已知对任意的，有;则对任意的，给出下面四个等式:
(1) (2) (3) (4) 上面等式中恒成立的有( )
A．（1）、（3） B．（3）、（4）
C．(2)、（3）、（4） D．（1）、（2）、（3）、（4）

9．设奇函数f(x )在[—1，1]上是增函数,且f (—1)= 一1，若函数，f (x )≤t 2一2 a t+l对所有的x∈[一1,1]都成立,则当a∈[-1，1]时，t 的取值范围是 ( )
A．一2≤t≤2 B ≤t≤ C.t≤一2或t = 0或t≥2 D．t≤或t=0或t≥

10．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点P在以点C为圆心，1为半径的圆上，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，那么△ABC的外接圆的直径等于__________．

12.若函数在区间（）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则实数的取值范围是 ______.

13 已知是偶函数，当时， 则关于的不等式
的解集是___________
14、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满（λ∈R）, 则P的轨迹一定过△ABC的__________
15.设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个数和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，
将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置。
（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分12分)已知A、B、C三点的坐标分别是A(3,0)、B(0,3)，C(cosα，sinα)，其中＜α＜.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．

17（本小题满分12分）用向量的方法证明三角形的三条高线交于一点。

18．（本小题满分12分）已知命题“”；命题“：函数 在上有极值”. 求使“且”为真命题的实数m 的 取值范围。

19．（本小题满分12分）设函数的图象在x=2处的切线与直线x－5y－12=0垂直．
（Ⅰ）求函数的极值与零点；
（Ⅱ）设，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；

20．（本小题满分13分） 在△ ABC中，分别为角A、B、C的对边，，=3,△ ABC的面积为6，D为△ ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。
(1)求角A的正弦值； (2)求边b、c； (3)求d的取值范围。

21．（本题满分14分）顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点，过点作抛物线的切线交x轴于点B1，过点B1作x轴的垂线交抛物线于点A1，过点A1作抛物线的切线交x轴于点B2，…，过点作抛物线的切线交x轴于点．
（1）求数列{ xn }，{ yn}的通项公式；
（2）设，数列{ an}的前n项和为Tn．求证：；
第21题图
（3）设，若对于任意正整数n，不等式…≥成立，求正数a的取值范围．

高三数学试卷答案
一、选择题：
题号
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D

C
D
B
C
C
C
B
2；三点共线，系数和为1. 4：平方法。7：
10：圆的参数方程的应用
二、填空题：
11， 5 。 12 , （补集法）。 13，。 14，重心。
15

三、解答题
16，解析：(1)＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，
∵||＝||，∴||2＝||2，
即(cosα－3)2＋sin2α＝cos2α＋(sinα－3)2，
化简得sinα＝cosα.
∵＜α＜，∴α＝. -------------6分
(2)－1＝·＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝1－3(sinα＋cosα)，
∴sinα＋cosα＝.
于是2sinα·cosα＝(sinα＋cosα)2－1＝－，
故＝＝2sinα·cosα＝－. --------------12分
17解析：如图所示，在中作 于,于,与交于 ，连接, 只需证,即------------4分
证明：
同理
展开 -------8分
即
∴三角形的三条高线交于一点。 ------------12分

F
E
C

18．解：,只需小于的最小值,而当时，≥3 ----------------6分
存在极值有两个不等的实根, 或,要使“P且Q”为真，只需 ---------------12分

19．解：（Ⅰ）因为，所以，
解得：或，又，所以， ………2分
由，解得，，列表如下：

1

0

0

极小值

极大值2

所以，， ………4分
因为
所以函数的零点是． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，
“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值大于在上的最小值，即当时，”， ………6分
因为，
① 当时，因为，所以，符合题意；
② 当时，，所以时，，单调递减，
所以，符合题意；
③ 当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，，
令（），则，所以在上单调递增，所以时，，即，
所以，符合题意，
综上所述，若对任意，存在，使成立，
则实数的取值范围是． ………12分

20，解：(1) --------------3分
(2)，20

由及20与=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 ---------------------8分
(3)设D到三边的距离分别为x、y、z，则

又x、y满足
画出不等式表示的平面区域得： ------------13分
21．（1）由已知得抛物线方程为． ………………………………………2分
则设过点的切线为．
令，故．
又，所以，． ……………………………………………4分
（II）由（1）知．
所以
++1+
) ．……………………………………………6分
由，，
得．
所以))．…………………………7分
从而

，
即．…………………………………………………………………9分
（III）由于，故．
对任意正整数n，不等式成立，
即恒成立．
设，………………………………10分
则．
故==

所以，故递增．…………………………………………12分
则．
故．…………………………………………………………………14分