向阳学校初三数学期中考试题.doc

向阳学校初三期中考试题
九年级数学期中试卷
本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟
命题人：石铮 审题人：陶剑峰
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试卷上无效．
一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）
1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ 　 ）

A． B． C． D．
2．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A.0,3 B.1,1 C.1,3 D.1，-1
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）　　 B．（－2，1）　　　 C．（2，－1）　　 D．（－2，－1）
4. 关于的一元二次方程有两个实根，则的范围是( )
A. k≤1 B. k≥1 C. k＜1 D. k＞1
5．将抛物线y=2x向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其表达式为（ ）
A．y=2（x＋1）—3 B．y=2（x－1）－3 C．y=2（x＋1）＋3 D．y=2（x－1）＋3
6．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A.3 B.-2 C.-3 D.2
7．下列命题中：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④长度相等的弧是等弧。真命题有（　　）个。
　 A． 1 B． 2 C． 3 D．4
8．某品牌电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程中正确的是（ 　）
A． B．
C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（　　）
　 A． 29° B． 31° C． 59° D． 62°

第9题图 第11题图 第13题图 第14题图
10.已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（　　）
　 A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=﹣1，x2=2 C． x1=﹣1，x2=0 D． x1=1，x2=3
11．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（　　）
　 A． 2 B． 4 C． 8 D．
12．已知点（-3，），（-2，），（-1，）在函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A. B. C. D.
13.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（　　）

A.
π

B 6π

C. 3π

D. 1.5π
14．如图，用一块直径为的圆桌布平铺在对角线长为的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为（　 　）
A． B． C． D．
15．已知一次函数的图象如下左图所示，则二次函数的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）
16．(6分) 解方程：
17．(6分)已知抛物线的顶点为A（1，—4），且过点B（3，0）．求该抛物线的解析式．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（—1，1），C（—1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；

第18题图 第20题图
19.(7分) 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1 ，x2为该方程的两个实数根且满足x1２x2２－x1－x2=115，求k的值．

20.(8分)已知：如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E.
(1)求证:BC=BD (2)若BC=15,AD=20,求AB和CD的长。

21.(8分)如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，
宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，
从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 第21题图

22．（10分）某工厂从今年一月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若是按现状生产，将会受到环境保护部门的处罚，每月罚款2万元，如果投资111万元治理污染，这样，该厂不但不受到处罚，还可以降低成本，使2月、3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长，经测算，投资治污后1月份生产收入为25万元。1至3月累计收入可达到91万元，3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平。
（1）求出投资治污后，2月、3月每月生产收入增长的百分率。
（2）如果把利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资额或环境保护部门罚款额，试问治理污染多少个月后，所投资额开始见成效（即治理污染所获得利润不小于不治理污染情况下所获得的利润）

23．（11分）如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点分别在正方形边上，连接，取中点，的中点，连接.
(1) 连接，则是__ _____三角形， 的数量关系是 。
(2) 如图2，将图1中的直角三角板绕点顺时针旋转，其他条件不变，则的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.
(3) 将图1中正方形ABCD及直角三角板同时绕点顺时针旋转，如图3，其他条件不变，则的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

24．（12分）如图，抛物线y＝(x＋1)2＋k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0，－3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；
①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由。

(备用图)

2015年秋九中九年级数学答案及评分细则
1—15题CDBAC BADBD CBDAB
16．x1=2，x2=2.5
17.设y=a(x-1)2-4(a≠0,a为常数)……………………………………………………………..1分
将（3，0）代入得，a=1……………………………………………………………….………4分
所以，y=(x-1)2-4即y=x2-2x-3……………………………………….………………………..6分
18.（1）图略………………………………..………………………..…………………………3分
（2）图略……………………………………………………….………………………….6分
C23,1）……………………………………………………….……………………7分
19.（1）由题意可得△=36-4k＞0
所以k＜9……………………………………………………………………3分
（2）由x1+x2=6,x1x2=k得k2-6=115
所以k=±11
∵k＜9∴k=-11…………………………………………………………………………7分
20.（1）∵AB是⊙0的直径， AB⊥CD
∴弧BC=弧BD
∴BC=BD……………………………………………………………….…………………..3分
（2）∵AB是⊙0的直径
∴∠ADB=90°
∴AB=25
∴
∴DE=12
∵AB是⊙0的直径， AB⊥CD
∴CD=2DE=24…………………………………………………………………………8分
21.（1）由已知可设抛物线为， 
则D的坐标为(5,m)，B的坐标为(10，m-3)
由B、D两点在抛物线上，
代入可得 ，m =—1
∴抛物线的解析式为………………………………………..……….…………..5分
（2）∵m =—1
∴CD距桥顶1m
∴1÷0.2=5小时。
答：水位从警戒线开始，再持续5小时才能到达拱桥顶。…………………………..……8分
22. （1）设2月、3月每月生产收入增长的百分率为x，根据题意，得
25〔1+（1+x）+（1+x）2〕=91
x2+3x-0.64=0，（x+3.2）（x-0.2）=0.
∴x1=-3.2，x2=0.2=20%.
∵x=-3.2不合题意，故舍去
答：2月、3月每月生产收入增长的百分率为20%.................................................................4分
（2）显然，3月份的生产收入为25×（1+20%）2=25×1.44=36（万元）.
设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，根据题意，得
91+36（y-3）-111≥（22-2）y
解之，得y≥8.
答：治理污染8个月后，所投资金开始见成效…………………………………………….10分
23.(1) 是等腰三角形， ………………………………………………..…2分
（2），理由如下
证明：连接AE,交MD于点G,
∵点M为AF的中点,点N为EF的中点,
∴MN∥AE,MN=1/2AE,
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF,CE=CF,
又∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
在Rt△ADF中,
∵点M为AF的中点,
∴DM=1/2AF
∴DM=MN…………………………………………………………………………………….6分
（3），理由如下
连接AE,A’F
∵CD=CD’,CE=CF
∴CD-CE=CD’-CF即DE=D’F
得△ADE≌△A’D’F
∴AE=A’F
易证MN,MD分别为△AEF和△AA’F的中位线
∴MN=1/2AE,DM=1/2A’F
∴MN=DM…………………………………………………………………………………….11分
24.（1）∵y＝（x+1）²+k与y轴交于点C(0,-3)
-3=1+k,得，k=-4
∴抛物线解析式为y＝（x+1）²-4，即y＝x²+2x-3……………………………3分
（2）（此小题方法不唯一，仅提供两种作为参考）
方法一：设M（x,x2+2x-3）
则四边形AMCB的面积=△ABC面积+△AMC面积
连接AC,过M点作MQ交AC于点Q
则直线AC解析式为y=—x—3，，所以Q（x,-x-3）
得MQ=—x2—3x
四边形AMCB的面积=△ABC面积+△AMQ面积+△CMQ面积
得，S=—3/2（x+3/2）2+75/8
当x=—3/2时，S最大值为75/8，点M坐标为(-3/2,-15/4)
方法二：∵四边形AMCB的面积=△ABC面积+△AMC面积
其中△ABC面积是固定的,，AB=4
以AB为底边，高为3 ，所以S△ABC=6
要使的四边形AMCB的面积最大
即要求三角形AMC面积最大
直线AC固定AC=3√2
即求抛物线上点到直线AC距离最大处
也就是求一与AC平行的直线与抛物线相切与第三象限的切点
直线AC解析式为y=—x—3,设过点M且与抛物线相切直线为y=—x—m
代入抛物线y=(x+1)²-4
-x-m=x²+2x-3
x²+3x+(m-3)=0有一个解
△=9-4(m-3)=0
m=21/4
x²+3x+9/4=0的解为x1=x2=—3/2
y=-x-m=3/2-21/4=—15/4
M坐标为(-3/2,-15/4)
M到AC的距离为I21/4-3I/√2=(9/8)√2 【可以用平行直线的距离公式或点到直线距离公式】
S△AMC=1/2 *(9/8)√2*3√2=27/8
四边形AMCB的面积=△ABC+△AMC=6+27/8=75/8………………………………………..7分
（3）存在，理由如下，
如图，过点M作MF⊥直线x=-1，垂足为F，设直线x=-1与x轴交于点E
易证△AEP≌△PFM
设EP=a(a＞0), 则EP=MF=a, AE=PF=2
P(—1，—a) M(—1—a,—a—2)
将M点代入y＝x²+2x-3中，得a²+a-2=0
a=—2或1，又因为a＞0，所以a=—2要舍去
综上a=1, M(-2,-3), P(-1,-1)………………………………………………...………………….12分