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中考系列复习——猜想性专题

一、中考要求
能够根据题目中的图形或者数字直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、知识网络图
如图1所示：
猜想性问题
猜想规律型
猜想结论型
猜想数式规律
猜想图形规律
猜想数值结果
猜想数量关系
猜想变化情况

图1
三、基础知识整理
猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
四、考点分析
1、猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1（云南）观察按下列顺序排列的等式：
；
；
；
；
；
……
猜想：第个等式（为正整数）用表示，可以表示成________________.
分析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为
9 × 一个数 + 另一个数 = 结果
其中，“另一个数”就是等式的序号n；“一个数”比它小1，即为n-1；结果的个位为1，个位以前的数字等于“一个数”n-1，所以结果表示为10(n-1)+1. 因此，这个等式为
9(n-1) + n = 10(n-1) + 1.
这个猜想的结果是否正确，还可以用整式运算的知识加以验证。
等式的左边 = 9n - 9 + n = 10n – 9；等式的右边 = 10n – 10 + 1 = 10n – 9 .
所以，等式的左边 = 等式的右边。
说明所列等式成立。
2、猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
……
……
①1=12；
②1+3=22；
③1+2+5=32；
④ ；
⑤ ；
例2（河北课改实验区）观察图2所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
图2
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.
分析：（1）本题图形中所反映出来的数字关系已经列出三个，下面就以它们为例，填写后两个。易得④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52.
（2）仿照例1的思路可以猜想：1+3+5+…+(2n-1)=n2 .
3、猜想数值结果
当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值。
例3（辽宁大连）阅读材料，解答问题。
材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(－3 ，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5……(如图3所示)。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则

即△P1P2P3的面积为1。”

图3
问题：
⑴求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；
⑵猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由(利用图4)
图4
⑶若将抛物线改为抛物线，其它条件不变，猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案)
分析：（1）阅读材料为我们提供了解题思路，可供借鉴。
S四边形P1P2P3P4 = S△P1H1P4 – S梯形P1H1 H2P2 - S梯形P2H2 H3P3 - S△P3H3P4
= ×9×3 – (9+4)×1 – (4+1)×1 – ×1×1
= 27/2 – 13/2 – 5/2 - 1/2 = 8/2 = 4.
即四边形P1P2P3P4的面积为4.
同理，可得四边形P2P3P4P5的面积为4.
（2）猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积为4. 理由如下：
设点Pn－1、Pn、Pn+1、Pn+2的纵坐标分别为(x-1)2、x2、(x+1)2、(x+2)2，则
S四边形Pn－1PnPn+1Pn+2
= S梯形Pn－1Hn-1Hn+2Pn+2 – S梯形Pn－1Hn-1HnPn - S梯形PnHnHn+1Pn+1 - S梯形Pn+1Hn+1Hn+2Pn+2
= ×[(x-1)2+(x+2)2]×3 – [(x-1)2+ x2]×1 – [ x2+(x+1)2]×1 – ×[(x+1)2+(x+2)2]×1
= (2x2+2x+5) – (2 x2-2x+1) – (2 x2+2x+1) – (2 x2+6x+5)
= [(6x2+6x+15)- (2 x2-2x+1) –(2 x2+2x+1) –(2 x2+6x+5)]
= 8/2 = 4.
即四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积为4.
（3）由于抛物线改为抛物线后，如果其它条件不变，只是抛物线的位置发生了变化，它的形状以及四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的形状都不变，所以猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积也不变，仍为4.
4、猜想数量关系
数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。
例4（江苏连云港）（1）如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
图5
①当时，有；
②当时，有；
③当时，有．
当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；
图6
（2）现有一块直角梯形田地（如图6所示），其中AB∥CD，，310米，170米，70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．
分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想——证明——应用”的思路设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值。
（1）仿照例1、例2的解题思路，不难猜想出关系式：EF ．
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．
∵AB∥CD，∴∽，∴，
又////，∴，
∵，，
∴，可得．
（2）在上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，设，
则EF=，，
若，则，
∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形，
∴，
化简得解得：，（舍去），
∴，
所以只需在AD上取点E，使米，作EF∥AB（或），
即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．
5、猜想变化情况
随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
例5（山东青岛）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.
(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图7)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图7）；
求证：S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.

图7
(2)在三角形中（如图8），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.

图8
分析：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有：S△AOBBO·AE
S△CODDO·CF
S△AODDO·AE
S△BOCBO·CF
∴S△AOB ·S△CODBO·DO·AE·CF
S△AOD·S△BOC BO·DO·CF·AE
∴S△AOB ·S△COD ＝S△AOD·S△BOC.
（2）根据“乘除乘方不改变”能猜想到：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等. 或S△AOD·S△BOC＝S△AOB ·S△DOC
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点
求证：S△AOD·S△BOC＝S△AOB ·S△DOC
证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，
则有：S△AODDO·AE，S△BOCBO·CF
S△OABOB·AE，S△DOCOD·CF
∴S△AOD·S△BOC OB·OD·AE·CF
S△OAB ·S△DOCBO·OD·AE·CF
∴S△AOD·S△BOC＝S△OAB ·S△DOC
五、创新题一隅
1、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形。如图9，△是正三角形，= = ,可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形；
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形。我想，边数是7时，它可能是正多边形。
……
（1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等；
（2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图10）是正七边形（不必写已知、求证）；
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）；
图9 图10
2、如图11是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：

x
x
y
图11

x(米)
5
10
20
30
40
50
y(米)
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5

10
O
图12
y(米)
4
6
8
10
12
14
2
x(米)
60
50
40
30
20
y
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图12所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；

（2）①填写下表：
x
5
10
20
30
40
50

②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y 的二次函数的表达式：_______.
（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
参考答案：
1、（1）略；
（2）略；
（3）猜想：各内角都相等的圆内接多边形的变数为奇数时，它是正多边形；边数为偶数时，它不一定是正多边形。
2、（1）图象如图13所示.
O
10
20
30
40
50
60
x/m
2
14
12
10
8
6
4
y/m
图13
（2）① 根据题意，可以填写下表：
x
5
10
20
30
40
50

200
200
200
200
200
200
②
（3）当水面宽度为36米时，相应的x为18，此时水面中心的
因为货船吃水深度为1.8m，显然，1.62<1.8,所以当水面宽度为36米时，该货船不能通过这个河段.