追及问题种类及其分析（自编）闫登科.doc

追及问题种类及其分析
闫登科
两个物体在同一条直线上运动，两物体间的距离发生变化时，可能会出现最大距离、最小距离或者是相遇的情况，我们把这类问题称为追及相遇问题。相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇，可见相遇问题即是追及问题。
一、追及问题分析：
追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者相距有极值的临界条件。
速度大者减速（如：匀减速直线运动）追速度小者（如：匀速直线运动）：
①.两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离；
②.若速度相等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件；
③.若位移相同时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值。
速度小者加速（如：初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如：匀速直线运动）：
①.当两者速度相等时，二者间有最大距离；
②.当两者位移相等时，即后者追上前者。
二、追及问题分类：
1.匀加速追匀速
①.图像：如图1所示。
②.分析：能追及且只能相遇一次，相遇时刻，如图中，两阴影部分面积相等时即相遇。以后匀加速的速度越来越快，匀速的追不上匀加速的了，故只能相遇一次。
③.交点意义：速度相等（时刻），此时两物体相距最远，以后距离逐渐的减小直到追为止。

2.匀减速追匀速：
①.图像：如图2所示。
②.分析：当时，.若，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；.若，则不能追及；c.若（即当时，），此时能相遇两次（为开始追及时两物体的距离）。
③.交点意义：速度相等时若还未追及则距离最远（用此可以来判断相遇几次）。
3.匀速追匀加速：
①.图像：如图3所示。
②.分析：在时，.若，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；.若，则不能追及；c.若（即当时，），此时能相遇两次（为开始追及时两物体的距离）。
③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离。
4.匀速追匀减速：
①.图像：如图4所示。
②.分析：能追及且只能相遇一次（即在时刻，两阴影部分面积相等）。
③.交点意义：速度相等时（即时刻），两物体相距最远。
5.匀加速追匀减速：
①.图像： 如图5所示。
②.分析：能追及且只能相遇一次（即在时刻，两阴影部分面积相等）。
③.交点意义：速度相等时（即时刻），两物体相距最远。
6.匀减速追匀加速：
①.图像：如图6所示。
②.分析：在时，.若，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；.若，则不能追及；c.若（即当时，），此时能相遇两次（为开始追及时两物体的距离）。
③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离。

三、追及问题方法：
在处理追及相遇问题的时候，往往用到的下列方法：1.物理分析法；2.相对运动法；3.极值法（函数法 利用判别式求解）；4.图像法。
例1（匀加速追匀速）
1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
2.甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边时，乙车开始以恒定的加速度加速运动，甲车匀速行驶，乙车追上甲车前，两车有最大距离18 m，求乙车的加速度大小
例2（匀减速追匀速）：
1.火车以速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距处有另一火车沿同方向以速度做匀速运动，已知，司机立即以加速度紧急刹车，为使两车不相撞，加速度大小应满足什么条件？
解析：方法一（物理过程分析法）：
方法二（数学极值法）：
方法三（相对运动法）：
方法四（图像法）：
2．（匀减速追匀速）2011年7月23日晚，甬温线永嘉站至温州南站间，北京南至福州D301次列车与杭州至福州南D3115次列车发生追尾事故，造成特大铁路交通事故．若事故发生前D3115次动车组正以速度为vA＝10 m/s匀速向前行驶，D301次列车在其后以速度vB＝30 m/s同方向匀速行驶．因当天正在下雨能见度低，D301次列车在距D3115次列车700 m时，才发现前方有D3115次列车．这时D301次列车立即刹车，但要经过1800 m D301次列车才能停止．问：D3115次列车若仍按原速前进，两车是否会相撞？说明理由．
3.甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；

(2)乙车追上甲车所用的时间。
例3（匀速追匀加速）：
1.（匀速追匀加速）：车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
2．（匀速追匀加速）：A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？
例4（匀速追匀减速）：
1.（匀速追匀减速）：AB两物体相距S0=7米.A以速度v1=4m/s做匀速直线运动，B的速度v2=10m/s,方向向右，正以a=-2m/s2做减速运动，问从此时刻开始经多少时间A可追上B？
2.某人骑自行车，v1=4m/s，某时刻在他前面7m处有一辆以v2=10m/s行驶的汽车开始关闭发动机，a=m/s2，问此人多长时间追上汽车 （ ）
A、6s B、7s C、8s D、9s
例5（匀加速追匀减速）：
1.两辆汽车在水平公路上同时、同地、同向出发，甲车出发速度为20m/s，加速度-4m/s2，已车初速度为零，加速度为1 m/s2 已车追上甲车需要多长时间？（错解：）
2.甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m/s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

上例中若甲车经过乙车旁边时，乙车开始以恒定的加速度加速运动，甲车匀速行驶，乙车追上甲车前，两车有最大距离18 m，求乙车的加速度大小。
例6（匀减速追匀加速）：
1.甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m/s的速度，a2=1m/s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。
2.在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。