14二次函数与一元二次方程的联系.pptx

1.4 1.4 二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程的联系湘教版 九年级下册第第1 1章章 二次函数二次函数探究探究 画出二次函数画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出的图象，你能从图象中看出它与它与x轴的交点吗？轴的交点吗？二次函数二次函数y=x2-2x-3与一与一 元二次方程元二次方程x2-2x-3=0有怎样有怎样的关系？的关系？1 2 3 4-1-2-3-42-13-241-3-4y=x2-2x-31 2 3 4-1-2-3-42-13-241-3-4y=x2-2x-3 如图，二次函数如图，二次函数y=x2-2x-3的的图象与图象与x轴的交点坐标分别是：轴的交点坐标分别是：（-1，0），（），（3，0）.由交点坐标可知：由交点坐标可知：当当x=-1时，时，y=0,即即x2-2x-3=0，也就是说，也就是说x=-1是一元二次方是一元二次方程程x2-2x-3=0的一个根；的一个根；同理：同理：当当x=3时，时，y=0,即即x2-2x-3=0，也就是说，也就是说x=3是一元二次方是一元二次方程程x2-2x-3=0的一个根；的一个根；y=ax2+bx+cAxo(x1,0)(x2,0)By 一般地，如果二次函数一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点(x1,0)，(x2,0)，那么对应的，那么对应的一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根x=x1,x=x2.求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的的图象与图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标求一元二次方程求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的根动脑筋动脑筋y=x2-2x+2y=x2-6x+91234-1-22-13-24155 观察二次函数观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图的图象，分别说出对应的一元二次方程象，分别说出对应的一元二次方程x2-6x+9=0和和x2-2x+2=0的根的情况的根的情况.y=x2-2x+2y=x2-6x+91234-1-22-13-24155 二次函数二次函数y=x2-6x+9的图象与的图象与x轴有重合的两个交点，轴有重合的两个交点，其坐标都是其坐标都是(3,0),而一元二次方程而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的有两个相等的实数根：实数根：x1=3,x2=3.二次函数二次函数y=x2-2x+2的图象与的图象与x轴没有交点，而一元二轴没有交点，而一元二次方程次方程x2-2x+2=0没有实数根没有实数根.一般地二次函数一般地二次函数y=ax+bx+c的图像与的图像与x轴的位置轴的位置关系有三种：关系有三种：有两个不同的交点有两个不同的交点，有两个重复的交点有两个重复的交点，没有交点没有交点。这对应着一元二次方程这对应着一元二次方程ax+bx+c=0的根的三种情况：的根的三种情况：有两个不相等的实根有两个不相等的实根，有两个相等的实根有两个相等的实根，没有实根没有实根。因此可通过方程的根的判别式因此可通过方程的根的判别式=b-4ac来判别抛物线来判别抛物线与与x轴的交点的个数（其中轴的交点的个数（其中a、b、c为抛物线表达式中二次为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）项系数，一次项系数和常数项）结论结论b2-4ac的取值的取值b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0a0,抛物线与抛物线与x轴的有两个不同的交点轴的有两个不同的交点.解：解：b2-4ac=22-411=0,抛物线与抛物线与x轴的有两个重合的交点轴的有两个重合的交点.例例2 求抛物线求抛物线y=4x2+12x+5与与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.解解:令令 y=0,则则 4x2+12x+5=0，a=4，b=12，c=5，b2-4ac=122-445=144-80=64.即即抛物线抛物线y=4x2+12x+5与与x轴的交点的轴的交点的 横坐标为横坐标为 或或 注意：求抛物线与注意：求抛物线与x轴的交点的横坐标需要令轴的交点的横坐标需要令y=0,再解关再解关于自变量于自变量x的一元二次方程的一元二次方程.随堂练习随堂练习1.试判断下列抛物线与试判断下列抛物线与x轴的交点情况轴的交点情况:(1)y=x2-3x+1;(2)y=2x2+3x+22.若抛物线若抛物线y=-mx-x+1与与x轴没有公共点，求轴没有公共点，求m的的取值范围取值范围.3.求证：抛物线求证：抛物线y=x+ax+a-2与与x轴总有两个交点。轴总有两个交点。4.求抛物线求抛物线y=x2+2x+1与与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.探究探究 从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切关系密切.那么求一元二次方程能不能借助二次函数呢？那么求一元二次方程能不能借助二次函数呢？求一元二次方程求一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根就是求二次函数的根就是求二次函数y=ax2+bx+c 在在 y=0时，自变量时，自变量x的值，也就是二次函数的值，也就是二次函数的图象与的图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根数的图象来求一元二次方程的根.由于作图或观察的误差，由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的由图象求得的根，一般是近似的.求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的的图象与图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标求一元二次方程求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的根例例3 求一元二次方程求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值的根的近似值(精确到精确到0.1).分析:一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图象法.解解:设二次函数设二次函数y=x2-2x-1=(x2-2x+12-12)-1=(x-1)2-2.对称轴是直线对称轴是直线x=1，顶点坐标是，顶点坐标是(1,-2).列表列表 x122.53y=(x-1)2-2-2-10.252描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分利用对称性画出图象在对称轴左边的部分.y=x2-2x-1 通过观察或测量，可得抛物线与通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的轴的交点的横坐标约为横坐标约为-0.4或或2.4，因此方程，因此方程x2-2x-1=0的根的近的根的近似值为：似值为：x1-0.4或或x22.4。(-0.4,0)(2.4,0).AB思考:(1)当 x取何值时，y0;(2)当 x取何值时，y0.解：x2.4解：-0.4x0；（3）当）当-1x3时，时，x-2x-30？(3)当当x取什么值时，函数值取什么值时，函数值x-2x-30？例例4 如图，在扔如图，在扔铅球时，铅球铅球时，铅球沿沿抛物线抛物线 运行，运行，其中其中x是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高是铅球离地面的高度度.（其中其中点点A表示表示铅球铅球的出手点，点的出手点，点B表示铅球的落地点）表示铅球的落地点）.xyoAB (1)当铅球离地面的高度为当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平时，它离初始位置的水平 距离是多少？距离是多少？当铅球离地面的高度为当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平时，它离初始位置的水平距离是距离是1m或或5m。2.115CDxoAB (2)铅球离地面的高度能否达到铅球离地面的高度能否达到3m，它离初始位置的水平，它离初始位置的水平 距离是多少？距离是多少？即铅球离地面的高度不能达到即铅球离地面的高度不能达到3m.xyoAB (3)当铅球在空中离地面的最大高度，并求出此时它离初当铅球在空中离地面的最大高度，并求出此时它离初 始位置的水平距离是多少？始位置的水平距离是多少？当铅球在空中离地面的最大高度为当铅球在空中离地面的最大高度为2.5m时，此时它离时，此时它离 初始位置的水平距离是初始位置的水平距离是3m。P2.53xoAB (4)求丁丁能将铅球扔出多远？求丁丁能将铅球扔出多远？即丁丁能将即丁丁能将铅球被扔出去铅球被扔出去8m.(,0)8xoAB (5)求铅球出手点离地面的高度？求铅球出手点离地面的高度？(0,)即铅球出手点离地面的高度为即铅球出手点离地面的高度为 m.例例5 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式的图象如图所示，则下列关系式不正确的是不正确的是 （）A.a0 C.a+b+c0 D.b2-4ac0C解析解析抛物线的开口向下，抛物线的开口向下，a0，抛物线的对称轴抛物线的对称轴x=0，b0，抛物线与抛物线与x轴有两个交点，轴有两个交点，=b2-4ac0，A、B、D都正确都正确.当当x=1时，时，y0，a+b+c0,开口向上开口向上cb2-4aca+b+ca-b+ca0，则函数图象交，则函数图象交y轴于正半轴；轴于正半轴；若若c=0，则函数图象交，则函数图象交y轴于原点；轴于原点；若若c0,则函数图象与则函数图象与x轴有两个不同的交点；轴有两个不同的交点；若若b2-4ac=0,则函数图象与则函数图象与x轴有两个重合的交点；轴有两个重合的交点；若若b2-4ac0,则函数图象与则函数图象与x轴无交点轴无交点.表示二次函数表示二次函数y=ax2+bx+c,当当x=1时的函数值的大小；时的函数值的大小；表示二次函数表示二次函数y=ax2+bx+c,当当x=-1时的函数值的大小；时的函数值的大小；二次函数二次函数y=ax2+bx+c常见代数式的作用常见代数式的作用 随堂练习随堂练习1.2.3.4.5.6.1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程公司经历了从亏损到赢利的过程.如图，已知如图，已知 刻画了该公司年初以来累积利润刻画了该公司年初以来累积利润y(万元万元)与销售时间与销售时间x(月月份份)之间的关系之间的关系.试根据图象提供的信息，回答下列问题试根据图象提供的信息，回答下列问题:1234-12-13-241556/万元万元/月份月份(1)(1)该公司亏损期是几个月？几月末该公司亏损期是几个月？几月末该公司亏损期是几个月？几月末该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？开始赢利？开始赢利？开始赢利？(2)(2)求截止到几月末公司累积利润可求截止到几月末公司累积利润可求截止到几月末公司累积利润可求截止到几月末公司累积利润可达到达到达到达到3030万元？万元？万元？万元？(3)(3)该公司第该公司第该公司第该公司第8 8月末所获利润是多少？月末所获利润是多少？月末所获利润是多少？月末所获利润是多少？练习练习1234-12-13-241556/万元万元/月份月份(1)(1)该公司亏损期是几个月？几月末该公司亏损期是几个月？几月末该公司亏损期是几个月？几月末该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？开始赢利？开始赢利？开始赢利？(2)(2)求截止到几月末公司累积利润可求截止到几月末公司累积利润可求截止到几月末公司累积利润可求截止到几月末公司累积利润可达到达到达到达到3030万元？万元？万元？万元？(3)(3)该公司第该公司第该公司第该公司第8 8月末所获利润是多少？月末所获利润是多少？月末所获利润是多少？月末所获利润是多少？解：解：(1)该公司亏损期是该公司亏损期是4个月，从个月，从4月末开始赢利；月末开始赢利；