河南省扶沟县高级中学2016届高三上学期开学考试数学（理）试题.doc

扶沟高中2015-2016学年度上期高三开学考试
数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合，，则= ( )
A． B． C． D．
2. 若（其中为虚数单位），则等于 （ ）
A．1　　　　 　 B. 　　　 　　　 C. 　　 　　　　D．
3．已知命题：，，命题：，，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是真命题 D．命题是假命题
4. 已知、取值如下表：

0
1
4
5
6

1.3

[:]
5.6
7.4
画散点图可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）
为 （ )
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
5．设为等比数列的前项和，已知,则公比 （ )
A．3 B．4 C．5 D．6
6. 是双曲线上一点, 分别是双曲线左右焦点,若||=9,则||= ( ) A.1 B.17 C.1或17 D.以上答案均不对
7. 若某几何体的三视图如右图所示， 则此几4
3
2
3
3
正视图
侧视图
俯视图

何体的体积等于 （ ）
A．30 B．12
C．24 D．4

8．设函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为（ ）

9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）
A. 14　　 B. 15 C. 16 　 D. 17
10． 中是边上的一点（包括端
点），则的取值范围是 （　　）
A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]
11. 如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线
于点AB，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为 （ ）
A. 　B. C． D．[]
[:]
12. 若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A,B）是函数的一个“姊妹点对”.点对（A,B）与（B,A）可看作是同一个“姊妹点对”.已知函数 ，则的“姊妹点对”有 ( )
A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 3个
二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.设变量满足约束条件，则的最大值为 .
14.在的展开式中的的系数为 .
15．已知(为自然对数的底数),函数
则 .
16 .已知数列的前n项和，若不等式对
恒成立，则整数的最大值为 .
三、解答题:（本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在中是其三个内角的对边且.
(I)求角的大小
(II)设，求的面积的最大值.

18. （本小题满分12分）
2015年广交会将于2015年8月15日在广州举行为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”.
(I)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）.
(II)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者
中为女志愿者的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.

19. （本小题满分12分）
如图所示的多面体中，⊥平面，⊥平面ABC，
，且，是的中点．
（Ⅰ）求证：⊥；
Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）
椭圆的焦点在x轴上，其右顶点（a,0）关于直线的对称点在直线 (c为半焦距长) 上.
（I）求椭圆的方程；
(II)过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线于点C. 设O为坐标原
点，且求的面积.
21．（本小题满分12分）
已知函数（为无理数，）
(I)求函数在点处的切线方程；
(II)设实数，求函数在上的最小值；
（III）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】
如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，
且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于点F．
(I)求证：A，E，F，D四点共圆；
(II)若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
23. （本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点,错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴建坐标系,
已知曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，已知过点错误！未找到引用源。的直线错误！未找到引用源。的参数方程为
错误！未找到引用源。
（为参数），直线与曲线分别交于两点．

(I)写出曲线和直线的普通方程；
(II)若错误！未找到引用源。成等比数列,求错误！未找到引用源。的值．
24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知a，b∈R+，a＋b＝1，，∈R+．
(I)求的最小值； (II)求证：．

2015-2016学年度高三开学考试数学答案 （理）
一． 选择题:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
C
C
B
B
C
A
C
D
D
A
二． 填空题: 13. 6 14. －910 15. 7 16. 4
三.解答题:
17 解：（Ⅰ）∵

，或，
由，知，所以不可能成立，所以，
即，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ），，所以，
即△ABC的面积S的最大值为
18.解：（1）根据茎叶图可得：
男志愿者的平均身高为
女志愿者身高的中位数为
（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的“高个子”有3人，的可能值为0,1,2,3，
故
即的分布列为：

0
1
2
3
P

所以的数学期望
19． 解：（1）以直线、、分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系，则，，，
所以.∴.........2分
又，是平面的一个法向量.∵ 即
∴∥平面 .................4分
（2）设，则，又
设，则，即...6分
设是平面的一个法向量，则

取 得 即
又由题设，是平面的一个法向量，......................8分
∴ ...................10分
即点为中点，此时，，为三棱锥的高，
∴ .............................12分
20.解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），
设（2，0）关于直线的对称点为（，
则………………4分 解得
则，所求椭圆方程为--------------------------6分
（2）设A
由
所以…………①，…………②
因为即，所以……③……6分
由①③得
代入②得，，整理得…………8分
所以所以……10分
由于对称性，只需求时，△OAB的面积.
此时，所以……12分
21.⑴∵
------3分
（2）∵时，单调递减；
当时，单调递增.
当
---------------------6分
(3) 对任意恒成立，
即对任意恒成立， 即对任意恒成立
令
令在上单调递增。
∵
∴所以存在唯一零点，即。
当时，；
当时，；
∴在时单调递减；在时，单调递增；
∴
由题意，又因为，所以k的最大值是3------------------12

22（Ⅰ）证明：，.
图6
在正△中，，，又，
，△BAD≌△CBE，，
即，所以，，，四点共圆. ……(5分）
（Ⅱ）解：如图，取的中点，连结，则.
，，，，
△AGD为正三角形，，即，
所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为.
由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为.…（10分）
23.解：（Ⅰ）C:
（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得

因为
由题意知， 代入得
24. 解：（1）

当且仅当时有最小值
（2）因为a，b∈R＋，a＋b＝1，，∈R＋ 所以

当且仅当时，取得等号。