辽宁省实验中学等五校协作体2013届高三冲刺最后模拟考试题理科数学.doc

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A, B，则是的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知复数，函数图象的一个对称中心是
A.（） B. （） C.（） D.（）
3．执行如图所示的程序，输出的结果为20 则判断框中应填入的条件为
A． B． C． D．
4.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
5．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图3，则此立体模型的体积为
A．7 B．6 C．5 D．4
6.已知定义在R上的函数，其中函数的图象是一条连续曲线，则方程在下面哪个范围内必有实数根
A.（0, 1） B. （1, 2） C. （2, 3） D.（3, 4）
7．已知的图像与轴、轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ）
A. B. C. D.
8. 若是奇函数，且周期为T，则是：
A周期为T的奇函数 B周期为的偶函数
S
0
5
7
11
10
X
C周期为的奇函数 D周期为的偶函数
9. 已知ABCD是平面四边形，动点P的轨迹是折线（A→B→C→D），设动点P移动的路程是x,△ADP的面积为S，函数的图象如图所示，则四边形ABCD是
A 等腰梯形 B 直角梯形
C 非等腰非直角梯形 D 除梯形之外的四边形
10．7张卡片上分别写有数字1，1，2，2，3，4，5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为
A．198 B．156 C．145 D．142
11．某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示。若130~140分数段的人数为2人。现根据初赛成绩在第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组。若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率。
A． B． C． D．
12．已知函数 ，给出下列命题：
（1）必是偶函数；（2）当时，的图象关于直线对称；
（3）若，则在区间上是增函数；（4）有最大值.
其中正确的命题序号是：
（A）（3） （B）（2）（3） （C）（3）（4） （D）（1）（2）（3）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13.有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”，运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式，其运算为：3，，2，，，7，；若计算机进行运算：2，2，， ，sin， ，1，，，那么使此表达式有意义的的范围是
P
M
D
C
B
A
14、在□ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠DAB＝60°，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则的取值范围是 ．
15．已知函数，数列满足，且是递增数列，则实数a的取值范围是
16、已知下列等式：cos＝，coscos＝，coscoscos＝，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17.如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．
（1）计算AC两站距离，及B，C两站距离；
（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．
（3）求10点时甲、乙两车的距离．
（参考数据：，，，）

18、中、日两国争夺某项国际博览会的申办权，进入最后一道程序，由国际展览局三名执委投票，决定承办权的最后归属。资料显示，A，B，C三名执委投票意向如下表所示
国
别
概
率
执
委

中 国
日 本
A

B

C

规定每位执委只有一票，且不能弃权，已知中国获得两票的概率为。
（1）求，的值；
（2）设中国获得的票数为，试写出的概率分布列，并求E
19．如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知 ，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求该几何体的体积；(Ⅱ)求二面角的余弦值.

F2
T
O
P
y
x
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值。
21.设函数f(x)＝ (其中常数a＞0，且a≠1)．
（1）当a＝10时，解关于x的方程f(x)＝m（其中常数m＞2）；
（2）若函数f(x)在(－∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围．

C
D
B
E
A
第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知在中，，AD，CE是角平分线。
求证:AE+CD=AC

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
设直线（t为参数），曲线C：，
（1）求曲线C普通方程；
（2）求直线被曲线C所截得的弦长。

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知，当时，,求证：

理科数学参考答案：
选择题 CDB ACB ABB BAA

填空题
13、 14、[，1] 15、 16、
解答题
17．（1）在△ABC中，∠ACB＝60°．∵，
∴，
．…………………………4分
（2）甲车从车站A开到车站C约用时间为（小时）＝60（分钟），即9点到C站，至9点零10分开出．乙车从车站B开到车站C约用时间为（小时）＝66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上．………………8分
（3）10点时甲车离开C站的距离为，乙车离开C站的距离为，两车的距离等于
＝．……………………12分
18.（1）依题意 得……………………6分
（2）分布到

0
1
2
3
P

……………………12分
19解:(Ⅰ)
.
，∴，∴.
∴.…………5分
(Ⅱ)OA，OR.。
则，∴，。
又∵，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

，显然二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.…………………………………12分
20. ．解析：（1）依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时取得最小值，而
，，从而解得，
故离心率的取值范围是；………………………………4分
（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为， 联立方程组
得，设，则有，，代入直线方程得，
，又，，
，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，
，，，所以．………………12分

21． 解 （1）f(x)＝
① 当x＜0时，f(x)＝＞3．因为m＞2． 则当2＜m≤3时，方程f(x)＝m无解；
当m＞3，由10x＝，得x＝lg．
② 当x≥0时，10x≥1．由f(x)＝m得10x＋＝m， ∴(10x)2－m10x＋2＝0．
因为m＞2，判别式＝m2－8＞0，解得10x＝．
因为m＞2，所以＞＞1．
所以由10x＝，解得x＝lg．
令＝1，得m＝3．所以当m＞3时，＝＜＝1，
当2＜m≤3时，＝＞＝1，解得x＝lg ．
综上，当m＞3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg 和x＝lg ；
当2＜m≤3时，方程f(x)＝m有两解x＝lg ．……………………6分
(2) （Ⅰ）若0＜a＜1，
当x＜0时，0＜f(x)＝＜3； 当0≤x≤2时，f(x)＝ax＋．
令t＝ax，则t∈[a2，1]，g(t)＝t＋在[a2，1]上单调递减，
所以当t＝1，即x＝0时f(x)取得最小值为3．
当t＝a2时，f(x)取得最大值为．
此时f(x)在(－∞，2]上的值域是(0，]，没有最小值．
（Ⅱ）若a＞1，当x＜0时，f(x)＝＞3；
当0≤x≤2时f(x)＝ax＋．令t＝ax，g(t)＝t＋，则t∈[1，a2]．
① 若a2≤，g(t)＝t＋在[1，a2]上单调递减，
所以当t＝a2即x＝2时f(x)取最小值a2＋，最小值与a有关；
② a2≥，g(t)＝t＋在[1，]上单调递减，在[，a2]上单调递增，
所以当t＝即x＝loga时f(x)取最小值2，最小值与a无关．
综上所述，当a≥时，f(x)在(－∞，2]上的最小值与a无关．……………………12分
C
D
B
E
A

22．如图，设☉H为的内切圆，分别为边
切点，则。由四边形
共圆。
又 则。

23．（1）解：
（2）解：直线的方程是，圆心到直线的距离为，
则弦长为
24．解：由已知得，
则---------------------------------------------------------------3分
则----------8分
则----------------------------------------------10分