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深入钻研教材——高效教学的前提

摘 要：认真钻研教材是提高课堂教学质量的前提和关键。钻研数学教材有两个纬度。在知识的维度上钻研教材包括：博观约取与见微知著，博观约取是为了避免钻研数学教材中见林不见树木，见微知著是为了防止钻研教材中见树木不见林。在教育的维度上钻研教材包括: 宏观体味与微观寻味. 教师从宏观上体味数学之山情水性，微观上天巧地灵挖掘数学的文化教育功能，借人工人籁而毕传其妙，必然有助于学生感悟数学之味美，摄取数学文化之佳肴。
关键词： 钻研教材；数学文化；理性

数学教材是课程专家根据数学课程计划规定的教学目标、教学内容、教学要求以及学生的年龄特征和认知水平，并按照数学学科的科学性、系统性、严密性、实用性、教育性以及教学法的要求，为在校学生编写的数学学习的专门用书。它是教师备课、上课、布置作业和检查学生学业成绩的基本材料，也是学生自主学习的基本材料，是学校师生教与学的主要依据。但是，数学教学实践中，有一些教师只注重例习题的钻研，而忽略对教材内容中知识的本质特征与内在联系的深入钻研，教学过程中采用撒大网、大运动量题海训练的教学方式，弥补学生知识理解的不足，造成学生数学学习备尝辛苦，不堪重负，对数学有睚眦之怨；还有一些教师只重知识的钻研，轻数学教育价值和作用的钻研，造成学生数学学习成绩尚可，但只是将数学作为贪功求名的阶梯，体味不到数学教育散发的芳香。因此，认真钻研和把握数学教材是高效率数学教学[1]的前提，是提高数学课堂教学质量的重要保障。
钻研数学教材一般有两个纬度：知识纬度和教育纬度。
1 知识的维度：博观约取与见微知著
博观约取指在数学概念、定理、公式、法则、方法等构成的知识结构体系中看待具体数学知识。教师钻研教材，绝不是孤立看待某章节的教材内容，而是钻研各章节内容之间的联系，还要考虑各章节内容与上一级和下一级学段是如何衔接的，同时要立足高学段，俯视低学段的内容。
在纵横联系中钻研各教学内容单元，才会识得“庐山真面目”，认识到教材内容在整个数学教材中的地位、作用。譬如，平面几何中的“点到直线的距离”，它是整个中小学数学中“距离”概念的一个环节，又与线段的长、斜线、垂线有关，它是平行线间的距离的基础，与立体几何中点线、线线、点面、线面间的距离息息相关，还与解析几何中中点线距离公式，乃至代数、物理中的速度、时间路程间的关系式都密切相连。只有在博观约取中才会充分认识到点到直线的距离的重要性。
见微知著指深入钻研各具体数学知识与例习题，尤其要重视对基本概念与知识的深入钻研，对具体知识要做到：见微以知萌，见端以知末，故见象箸而怖。我国知名数学教育家傅种孙指出：“越是起初的东西，若是追究起来，越是困难。这是涉猎过算理哲学的人，都知道的。”[2]而在中小学的数学教材中，这种“起初的东西”，却往往不为教师所深入钻研。譬如，等式的概念及性质，为构筑所有等式的“起初的东西”，但往往被一瞥而过。实际上，等式也即是“换句话说”，当然可以若干次的“换句话说”。等式A=B中的A，B必有同有异（和而不同），无同，则不能相等，无异没有写等式的必要。等式具有自反性与传递性，我们要善用这些等式的起初性质，并对之有足够的敏感性。通过等式的传递性，会有许多新的发现或建构。张景中先生正是通过单位为1的菱形面积等于该菱形任一角的正弦，而建构了三角函数的新定义。大数学家欧拉正是通过正弦函数的等式
=；
又，为的根，所以，
，所以，

比较该等式左右两边的系数可得：
，进而有：

这样欧拉解决了曾困扰大数学家伯努利多年的平方数倒数求和问题。
关于具体概念需要钻研的主要内容是：该概念是否是关键概念或与该节内容的关键概念之间是什么关系，与其他章节（甚至不同学段）之间的哪些概念有什么息息相关的关系，这些密切相关的概念构成了什么样的概念图，等。对具体的数学公式需要钻研的主要内容为：公式的结构、特征；成立的条件；适用范围和公式的变化形式等。定理需要钻研的主要内容为：条件与结论的内在联系；适用范围与作用；定理的变化形式（逆命题，否命题、逆否命题各是什么？是否成立？可否推广？特殊情况为何？等）。例题需要钻研的主要内容为：例题的条件是什么？结论是什么？条件对结论起何作用？在此条件下还会得出那些结论？改变条件结论如何？改变结论条件将有何变化？条件与结论有何特征? 它与哪些教材中哪些习题有联系?与哪些知识有联系?对典型例题应做好做到如下分析：

问
题
弄
清
题
意
（一）
拟
订
方
案
（二）
执
行
方
案
（三）

回

顾
（四）
同化、顺应
纳入认知结构
抽象、分析、综合
建立数学模块
概括方法论因素
形成数学观念
推广、类比、猜想
做出数学发现

对习题需要钻研的是习题搭配与编者意图分析。分析的主要内容为：教材中练习题、习题和复习题中的习题是如何搭配的？它们之间有何关系？编者这样搭配是何意图？突出了什么？体现了什么？强调了什么？哪些习题是巩固知识形成技能；哪些习题是课本知识的补充与深化；哪些习题是为后面学习做好铺垫；哪些习题是培养学生某种能力等。
根虚本不固，源浊流难清，具体知识是数学学习的重要根基。在见微知著中钻研各具体数学知识与例题，才会让学生认识到数学知识的“月晕而风，础润而雨”。
博观约取是为了避免钻研数学教材中见林不见树木，见微知著是为了防止钻研教材中见树木不见林。
2 教育的维度：宏观体味与微观寻味

世间万物，有韵则生，无韵则死；有韵则雅，无韵则俗；有韵则响，无韵则沈；有韵则远，无韵则局，钻研数学教材，不仅要钻研知识，还要钻研数学之韵味，教师对数学之韵味没有感受或体味苦涩，难以让学生品尝到数学之甜美味道。
Paul Ernest引用Hersh的话说过：“问题并不在于教学的最好方法是什么，而在于数学到底是什么……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。”[3]对数学的整体感受是非常重要的，它将成为我们数学教育的放大镜。宏观寻味即从宏观上感受数学的味道。道可道，非常道，数学之整体味道需要体味。譬如，反映数学固有的求真、求善、求美以及理性，数学知识的联通性，数学思想方法的贯通行，数学推理之逻辑严谨，数学思维体操之美妙，数学应用之魅力四射，等等散发着数学之味，该气息是一种整体的意境，我们宏观体味才能感受其浓浓的数学味道。知识有恒姿，味道无定检，但味道如悠悠花香，蕴藉众生之心灵。
齐民友指出：“历史已经证明，而且将继续证明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。” [4]《 普通高中数学课程标准》（实验稿）在课程基本理念中也明确提出要体现数学的文化价值。关于具体的章节内容，我们需要钻研其文化教育功能。言有尽而意无穷，教材中的数学知识是有限的，对学生也未必终生受用，但蕴含于教材中的文化教育的意味却丰富多彩，格高调逸，趣远情深。微观寻味即聚焦于具体的教材内容，探寻其多种文化教育意义的味道，做到众里寻他千百度。有一些文化教育功能的素材，是课程制定者从数学教育和文化教育的角度出发，遵循学生的认知规律，用通俗的语言、生动形象地表达方式，将数学的内容、思想、方法、语言和数学的学术价值、社会价值、教育价值与人文价值进行整合，并有机地融入到教材之中。表现在教材中为插图、脚注、阅读材料以及数学故事与史料等教材制定者蕴思含毫的材料之中，这些需要我们基于文化的口味，追寻其文化教育的味道。还有一些具体内容，需要我们从多方寻觅其文化教育之意味:该教材内容与哲学的联系（世界观、方法论与辩证法，尤其是关于数学观以及数学思想方法的认识）；与艺术的联系（美学价值）；与历史的联系（不仅是数学内史，还包括文化、政治、社会等因素对数学发展的影响，数学及数学家对人类历史的影响等外史）；与德育教育的联系（道德品质、理性精神等）；与思维科学的联系（数学思维方法与能力，尤其要让学生体味数学抽象思维与概括思维的魅力）；与社会学的联系（社会价值）；与其他自然学科和生活实际的联系（数学建模或数学应用），等等。譬如，“勾股定理”这一微观知识，可寻觅到其9种味道: j多种证法的魅力; k与数学内部其它内容的联系(费玛猜想、鲍恩猜想、不定方程等);l定理发现的有关数学史料与人文趣事；m与艺术的联系（达芬奇的画）;n与其他学科的联系（如建筑学、金字塔的建造等）;o与创造思维的联系（勾股定理的推广等）;p美学价值（艺术的美、图案的美、赵爽弦图证明的简洁美等 ）;q对人类社会的贡献（大禹治水，与外星人交流的语言等）; r各个民族对勾股定理的发现等[5]。
钻研教材不仅仅是为了将数学知识理解得清澈见底，而且要钻研如何让学生受到数学的教育，让学生在数学的世界里自由的翱翔。教师从宏观上体味数学之山情水性，微观上天巧地灵挖掘数学的文化教育功能，借人工人籁而毕传其妙，必然有助于学生感悟数学之味美，摄取数学文化之佳肴。
最后要说明的是，教材只是供师生使用的教学材料，钻研教材是深刻理解教材的过程，也是加工教材的过程。深刻理解既包括深刻理解数学，也包括深刻理解具体数学知识。加工教材既要基于教材，又要超越教材。基于教材就是要立足于教材，全面解读教材和深入分析教材中的知识，而超越教材要用教育的视角，宏观把握和积极感受数学，钻研如何让学生在数学学习中沐浴数学的博大精深，心旷神怡。同时，挖掘和拓展教材的文化功能，钻研如何让学生在数学文化的熏陶中陶情适性，心慕手追。

参考文献
[1] 王光明.数学教学效率论（理论篇）[M]. 天津：新蕾出版社，2006.
[2] 傅种孙．傅种孙数学教育文选[M]．李仲来主编．北京：人民教育出版社，2005．90
[3] Paul Ernest.数学教育哲学[M] .齐建华 张松枝译.上海：上海教育出版社，1998.引言
[4] 齐民友.数学与文化.长沙:湖南教育出版社[M].1991.12～13.
[5] 王富英，马岷兴. 数学文化教育及其结构[J].数学通报，2008（7）.6

注:此文发表在《数学通报》2010（11）:8—10，人大复印资料《高中数学教与学》2011（4）全文转载。
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