第20课时三角形的基本概念与性质.doc

第20课时 三角形的基本概念与性质
解题方法示屏
★ 类型题展

类型一 三角形的三条重要线段
例1：如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A .△ABC 的三条中线的交点
B .△ABC 三边的中垂线的交点
C .△ABC 三条角平分线的交点
D .△ABC 三条高所在直线的
方法点拨：本题考查了三角形的三条重要线段（中线、角平分线、高）及角平分线的判别。
由“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”知所选的点为△ABC 三条角平分线的交点。

变式题一
例2：已知：CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，
若∠A＝70°,∠ABC＝60°.求∠BMC的度数。
方法点拨：本题考查了三角形的三条重要线段—中线、
角平分线的性质。由BF是△ABC的高可得∠AFB=
∠CFB=90°；又由CD平分∠ACB可得. 从而求得相关角的度数，再求∠BMC的度数.
类型二 三角形的三边关系
例3. （2011•滨州）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（　　）
A、1 B、5 C、7 D、9
方法点拨：本题考查构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边，
解题时首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
变式题二
A
C
O
B
例4：如图，点O为△ABC内一点，试证明：

方法点拨：本题考查了三角形的三边关系。三角形的三边关系是指在三角形中，任意两边之和大于第三边，因此要使所证的线段在某个三角形中，可以考虑延长BO或CO，再利用三角形三边关系证明。
类型三 三角形内角和定理的应用
例5：在△ABC中，若,则 .
方法点拨：本题考查了三角形内角和定理.根据题意得：,.又根据三角形内角和定理得：.所以，解得.
变式题三（2道）
例6. （2011山东济宁，3，3分）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
30°
45°

A
D
B
C
E
α
方法点拨：本题考查了三角形内角和定理.由三角形内角和为180°与内角比可得：这个三角形的最大角为：，所以这个三角形是锐角三角形.故选B.
例7. （2011山东菏泽，3，3分）一次数学活动课上，
小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠等于
A．30° B．45° C．60° D．75°
方法点拨：本题考查了三角形内角和定理.由题意知:
，所以
★易错题探究
◆三角形的三边关系（分类讨论思想）
例8.若等腰三角形的两条边长为方程的两根，求这个等腰三角形的周长。
错解：解方程得，
∴ 三角形的边长为2和5
易错分析：本题考查了三角形的三边关系。先解方程求出这个等腰三角形有两边长，再求出它的周长。出错原因是：忽略了三角形的三边关系（两边之和大于第三边）。

备考满分挑战
★双础训练
1. （2011·苏州）△ABC的内角和为
A．180° B．360° C．540° D．720°
2. （2011·昆明）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°，
那么∠BDC=（　　）　
A．80° B．90° C．100° D．110°
D
A
B
C

（第2题图） （第4题图） （第5题图）
3.（2011河北）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三
角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13

4. （2011四川绵阳6，3）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?
A．0根 B.1根 C.2根 D.3根
5. 如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，
∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ ）
(A)100° (B)80° (C)70° (D)50°
6. （2011江苏连云港，5，3分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）

7.（2010·凉山州）已知三角形两边长是方程的两个根，则三角形的第三边的取值范围是 。
8.（2011•淮安•10）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　 　．

（第8题图） （第9题图）
9.（2011·无锡·17·3分）如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则 △ACD的周长为 cm．
10.（2011·鸡西）已知三角形相邻两边长分别为20㎝和30㎝，第三边上的高为10㎝，则此三角形的面积为 ㎝².

D
A
B
C
F
E
第18题tu图tutu 图

11.（2011大理）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，
且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线
还是角平分线？请说明你判断的理由．

★能力提升
12. （2011福建福州，10，4分）如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为,宽为,、两点在网格格点上,若点也在网格格点上,以、、为顶点的三角形面积为,则满足条件的点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D． 5

（第12题图） （第13题图） （第14题图）
13.（2011·台北改编)三边均不等边的，若在此三角形内找一点O，
使得、、的面积均相等。下列作法正确是（ ）
A．作的高AD、BE，则AD、BC的交点为要找的点O
B．作的中线AD、BE，则AD、BC的交点为要找的点O
C．作的边AB、BC的中垂线，则这两条中垂线的交点为要找的点O
D．作的、的角平分线AD、BE，则AD、BC的交点为要找的点O
14.（2011·扬州）如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）
A． 30，2 B. 60，2　　　C. 60，　　　D.60， 　
15 （2010湖北孝感，8，3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是( )
A.14cm B.18cm C.24cm D.28cm
A
B
C
D
E
F

（第15题图） （第16题图） （第17题图）

16.（2011•滨州•12•3分）如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4

17.如图，△ABC中，.D、E分别是BC、AC的延长线上的点.若EF∥BD，.则 .

18.（2011·鸡西）如图，△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2.照此规律作下去，则S2011= .

A

B
C
P
D

（第18题图） （第19题图）
19.（2011·黄冈）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分
线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．

C1
A1
A
B
C
20.（2011·珠海）如图，将一个钝角△ABC（其中
∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使
得C点落在AB的延长线上的点C1处，连结AA1．
（1）写出旋转角的度数；
（2）求证：∠A1AC＝∠C1．

第20课时 三角形的基本概念与性质参考答案
解题方法示屏
例1答案：C
例2解答：解：∵ BF是△ABC的高 ∴ 即
又∵ ∠A＝70° ∴
又∵∠ABC＝60° ∴
又∵CD平分∠ACB ∴
∴
例3解答：解：根据三角形的三边关系，得：第三边应＞两边之差，即4﹣3=1，而＜两边之和，即4+3=7，即1＜第三边＜7，∴只有5符合条件，故选B．
例4 A
C
B
O
D
解答：解：延长BO交AC于点D.
在△ODC中，
在△ABD中，
∴
即
∴
例5答案：
例6 【答案】B
例7【答案】D
例8正解：解方程得，
∴ 三角形的边长为2和5
当腰长为2时，底为5，此时2+2﹤5，不满足三角形三边关系定理，舍去.
∴ 这个等腰三角形的腰长为5时，底为2，周长是12.
备考满分挑战
1. A。【解析】 本题考查三角形内角和定理. 解题思路：由三角形内角定理直接得出结果.
2. D 【解析】 本题考查三角形内角和定理和三角形角平分线的性质.
解题思路：由CD是∠ACB的平分线得；再由三角形内角和定理得
.
3. B 【解析】 本题考查三角形三边关系定理. 解题思路：由三角形三边关系得即；又x为正整数，所以12、13、14，故这样的三角形有三个.
4. B 【解析】 本题考查三角形的稳定性。解题思路：由三角形的稳定性知：只要把四边形转化为三角形就不变形，所以至少要再钉上一根木条即可。
5.A 【解析】 本题考查三角形边角关系和等腰三角形的性质。
解题思路：由DA=DB=DC得、
所以.
6. C 【解析】 本题考查三角形的三条重要线段——高的作法.
解题思路：由三角形的高的作法知：最长边上的高就过这条边所对的顶点向这边作垂线.
7. 【解析】 本题考查三角形的三边关系. 解题思路：解方程可得这个三角形的两边长是2和3；再由三角形三边关系定理可得：
即
8. 4 【解析】 本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．
解题思路：根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．
9. 8 【解析】 本题考查线段垂直平分线性质，要求熟练掌握: 线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等. 解题思路：利用线段垂直平分线性质，直接得出结果: ACD的周长
10.（100+50）或（100－50）【解析】 本题考查三角形的高的性质和求法。解题思路：根据题意可分两种情况：
B
C
A
D
A
B
C
D

(图1) （图2）
如图1，△ABC中，AB=30，AC=20，AD⊥BC且AD=10，根据勾股定理可得
，
∴
如图2，△ABC中，AB=30，AC=20，AD⊥BC且AD=10，根据勾股定理可得
，
∴
11.思路分析：本题考查三角形的中线、角平分线、高的识别.要证AD为中线，只要证BD=CD即可；要证AD为角平分线，只要证∠BAD=∠CAD即可。
解答 解：AD是△ABC的中线，其理由是：
∵ BE⊥AD，CF⊥AD
∴ ∠BED=∠CFD=90°
在△BED和△CFD中
∴ △BED≌△CFD ∴ BD=CD
∴ AD是△ABC的中线
12. C 【解析】 本题三角形的面积的求法。
解题思路：由题意知：每个小长方形的面积是2，两个相邻的
小长方形的面积是4.所以如右图所示的4个点之任意一点与A、B构成的三角形的面积都是2，即满足条件的C点有4个.
13. B 【解析】 本题考查三角形的三条重要线段的性质.
解题思路：由三角形的三条重要线段的性质知：三角形的三条中线交于一点，这一点和三角形的顶点连线分这个三角形所得三个三角形面积相等。
14. C．【解析】 本题考查图形旋转、300角的性质、三角形中位线性质，相似三角形的面积比等。解题思路：
∵在中，
。很易证出

15. A 【解析】 本题考查三角形中位线性质、平行四边形的判定，主要考查了三角形的中位线性质. 解题思路：根据题意知：E、F、D、G分别是AB、OB、AC、OC的中点，所以EF、DG分别是△ABO、△ACO的中位线，由此可证四边形DEFG为平行四边形且、.所以四边形DEFG的周长是14cm.
16. C 【解析】 本题考查三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质，本题中求证BD≠BC是解题的关键
解题思路：将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．
①使得CE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
∵∠C=60°，
∴AB=BC，
∴BD≠BC．
②使得BD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：

③使得BD与DE重合，即可构成有一个角为锐角的菱形，如图：
故计划可拼出①②③．
故选C．

17. 55°【解析】：本题考查了三角形内角和定理及平行线的性质。
解题思路：由EF∥BD得.又
∴
18. •（表示为•亦可）【解析】：本题
等边三角形的性质、对图形的识别，同时考查学生探索能力。解题思路：由题意知：四边形EDAF为平行四边形，它的面积；同理四边形E1D1FF1为不行四边形，它的面积；……；；
所以.
19. 50°【解析】：此题考查学生对角平分线性质和三角形外角的知识，学生要证AP是∠BAC外角的平分线，需要添加辅助线才行。
又∵∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1
解题思路：利用角平分线的性质定理和判定定理证AP是∠BAC外角的平分线！而∠BAC=2∠BPC也是可证的！由∠BPC=40°和角平分线性质，
得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°，
则∠BAC的外角为100°，∠CAP=×100°=50°。
20.【解答】（1）解：旋转角的度数为60°．
（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB，∠C＝∠C1，
由（1）知：∠ABA1＝60°，
∴△A1BA为等边三角形．
∠BAA1＝60°
而∠CBC1＝60°，
∴∠BAA1＝∠CBC1，
∴AA1∥BC
∴∠A1AC＝∠C．