概率论与数理统计期末总复习小结.doc

第二、三、四章随机变量的分布及数字特征
习题课

一、小结
1.一维随机变量的概率分布
⑴随机变量的分布函数的概念与性质
⑵离散型随机变量的概率分布与性质
⑶连续型随机变量的概率密度与性质
⑷重要分布（分布、二项分布、超几何分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）
2.二维随机变量的概率分布
⑴分布函数的概念与性质、边缘分布函数
⑵二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布
⑶二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度
⑷重要分布（二维均匀分布、二维正态分布）
⑸随机变量的独立性
3.随机变量的函数的概率分布
⑴离散型随机变量函数的概率分布
⑵连续型随机变量函数的概率分布
4.随机变量的数字特征
⑴数学期望定义、公式与性质
⑵方差的定义与性质
⑶原点矩与中心矩
⑷协方差定义与性质
⑸相关系数的定义与性质
⑹不相关的充要条件
5.极限定理
⑴切比雪夫不等式
⑵大数定律
⑶中心极限定理
二、习题
1.每次试验成功的概率为（），重复进行试验直到
第次才取得（）次成功的概率是【B】
(A) (B)

(C) (D)

2.设随机变量，则随着的增大，概率

【C】
(A) 单调增大 (B) 单调减小
(C) 保持不变 (D) 增减不定
3.设两个独立的随机变量与的分布函数分别
，则的分布函数是【C】
(A)

(B)

(C) (D)都不是

4.设随机变量相互独立且同分布，， ，（），令，则对任意的，有【B】
(A) (B)
(C) (D)
5．某事件的概率为1/4,如果试验8次,则该事件就【D】
(A)一定出现两次 (B)一定出现6次
(C)至少出现1次 (D)出现次数不能确定
6.设两个相互独立的随机变量与的方差分别是，，则随机变量的方差是 .【68】
7.设有5枚1分硬币、3枚2分硬币和2枚5分的硬币，从中任取5枚.求取出金额超过1角的概率为 .【】
8.设与相互独立且都服从，则 .【】
9.设随机变量的概率密度为 若，则的取值范围是 .【】
10.设随机变量与的相关系数为，，，则 .【6】
11.盒中放有6个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时，从中任取2个来用，比赛后放回盒中；第二次比赛时再从盒中任取2个.
（1）求第二次取出的两球都是新球的概率；
（2）若已知第二次取出的两球都是新球，则第一次取出的两球是一新一旧的概率.
【⑴0.16；⑵0.67】
12.设X服从区间上的均匀分布，求
⑴的分布密度；⑵的分布密度.
【⑴
⑵】
13.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克，
⑴设每100个螺丝钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过5100克的概率；
⑵若这样的螺丝钉装有500袋，求500袋中最多有4%的重量超过5100克的概率.已知，.
【⑴；⑵】
14.假定到某服务单位办事的等待时间X（单位：分钟）服从以为参数的指数分布，而某人等待时间超过15分钟就会离去.设此人一个月要去该处10次，试求：
⑴此人离去的概率；
⑵一个月里至少有两次离去的概率.
【；⑵】
15.设(X，Y)在区域D内服从均匀分布，D为0≤y≤1，y≤x≤1，
⑴求关于X和Y的边缘分布密度；

⑵X与Y是否相互独立，为什么？
⑶求X与Y的协方差Cov(X，Y).
⑵ ；
⑵不独立；⑶】
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第五、六、七章习题课
一、小结
（一）样本与抽样分布
1.基本概念
△总体、个体、样本、样本容量
△简单随机样本：若样本满足：它们相互独立，且与总体具有相同的分布.
△统计量：样本的函数，且不含任何未知参数.
△样本数字特征：
⑴样本均值；
⑵样本方差，修正样本方差；
⑶样本阶原点矩；样本阶中心矩.
定理 若总体的期望为，方差为，是来自总体的简单随机样本，则.
2.抽样分布
定理1（生成原理）
⑴独立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量；
⑵独立的标准正态变量的平方和服从自由度为的分布；
⑶设，相互独立，且，，则服从自由度为的分布；
⑷设，相互独立，且，，则服从自由度为的分布.
△ 若，则，.
定理2（一个正态总体抽样分布）
设是来自正态总体的简单随机样本，则
⑴；
⑵；
⑶；
⑷与相互独立；
⑸.
定理3（两个正态总体抽样分布）设与是分别来自正态总体和的简单随机样本，且这两个样本相互独立，则
⑴；
⑵当时，，其中
.
3.分位数
△设，称为的下侧分位数；设，称为的上侧分位数.
△它们的关系是：（上）＝（下）.
△会画分布的密度曲线，会查它们的分位数表，其中（颠倒自由度，查表取倒数）.
（二）参数估计
1.点估计方法
△矩估计法：用样本原点（中心）矩及其函数估计总体相应原点（中心）矩及其函数.
例如 估计一个参数，令，解出；
估计两个参数，令，解出.
△最大似然估计法：选取参数，使样本取值的概率（密度）最大. 其步骤如下：
⑴写出似然函数
（离散型），
（连续型）；
⑵取对数；
⑶求出（即）的最大值点；
⑷的最大似然估计为.
2.点估计的评价标准
⑴无偏性：；
⑵有效性：且，则称比有效；
⑶一致性（相合性）：若，则称是的一致估计量.
3.区间估计
△概念 若，则称为参数的置信概率为的置信区间.
△概率意义 等式表示随机区间包含参数的概率为.
△置信概率反映可靠性，越大越好；置信区间的长度反映精确度，越小越好.
△求置信区间的原则：对于给定的置信概率，使置信区间的长度越小越好.
4.一个正态总体均值与方差的置信区间（其中分位数均为下侧分位数）：
⑴已知，的置信区间为；
⑵未知，的置信区间为；
⑶已知，的置信区间为；
⑷未知，的置信区间为.
（三）假设检验
1.小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生.
2.假设检验的步骤：
⑴提出待检假设和备择假设；
⑵选择检验统计量并确定其分布；
⑶根据给定的显著水平，查概率分布表，确定否定域；
⑷利用样本值计算统计量的值并判断其是否落入否定域，若是，则拒绝，否则接受.
3两类错误
△真而拒绝，称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率，
△假而接受，称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率记作.
4.一个正态总体参数的假设检验（拒绝域均采用下侧分位数）
⑴已知，关于的检验（检验）
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
⑵未知，关于的检验（检验）
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
⑶未知，关于的检验（检验）
检验假设 统计量 拒绝域或者
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
5.两个正态总体、均值的假设检验（检验，拒绝域均采用下侧分位数）
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
6.两个正态总体、方差的假设检验（检验，拒绝域均采用下侧分位数）
检验假设 统计量 拒绝域或者
检验假设 统计量 拒绝域
检验假设 统计量 拒绝域
注 检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.

二、习题
1. 10部机床独立工作，因检修等原因，每部机床停机的概率为0.2，则同时有3部机床停机的概率为（）.【 或0.201】
2. 设总体服从 分布，是一个样本，则两个无偏估计量，中有效的是（）. 【】
3. 若总体服从 ，由来自的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则的双侧0.95置信区间（）为（）. 【（4.804，5.196）】
4. 设随机变量的方差为2，则根据切比雪夫不等式有 ．【1/2】
5．在假设检验问题中，显著性水平的意义是（）
A.原假设成立，经检验被拒绝的概率；
B.原假设成立,经检验不能拒绝的概率；
C.原假设不成立，经检验被拒绝的概率；
D.原假设不成立，经检验不能拒绝的概率．【A】
6．设总体，其中已知，未知，是取自的一个样本，则下列表达式中不是统计量的是（）
A. ； B.；
C. ； D. ．【 C 】
7. 设随机变量与都服从标准正态分布，则下列各式中正确的是（）
A 服从分布；
B. 服从分布；
C．和都服从分布；
D. 服从正态分布．【C】
8. 设是来自总体的一个样本，，记，，下列命题中正确的是（）
A. 是的无偏估计量；
B. 是的极大似然估计量；
C. 与相互独立；
D. 是的无偏估计量．【D】
9．设，且与不相关，则（）
A. 6； B. 16； C. 28； D. 44．【 D 】
10.袋中装有只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为，试求从该袋中任取一球为白球的概率．

解 用表示袋中的白球数，则

设{取出白球}，由全概率公式

.
11．设总体的分布密度为，其中是未知参数，是来自的样本．求（1）似然函数；（2）极大似然估计量．

解（1）似然函数
（2），
令，
得 ，
故极大似然估计量.
12.设连续型随机变量服从上的均匀分布，求关于的一元二次方程

有实根的概率．

解 令{方程有实根}，则

因为，故，
所以 ．
13.中药厂从某种中药材中提取某种有效成分．现对同一质量的药材，用两种方法各做

了10次试验，两种方法下的总体分别用与Y表示，,，

且与相互独立，从观测值得 ，现取

. 问（1）两种方法方差有无差异；（2）两种方法均值有无差异．

（F0.995(9,9)=6.54, t0.995(18)=2.8784）

解（1）检验
统计量

，
拒绝域：或者，
因为 ，故接受假设，即认为 ；
（2）检验
统计量，
拒绝域： ，
由于，故拒绝假设，即认为两种方法均值有差异.

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