二次函数综合运用---面积问题.doc

二次函数综合运用
-------面积问题教学设计
遵义市第三十七中学 陈传敏
一、 教材分析：
（1）二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数的延伸，也为学生高中学习圆锥曲线和一元二次不等式奠定了基础。具有承上启下的作用。在省各市、州、区的中考考题中，二次函数常以压轴题的形式出现，而且综合性比较强。
（2）二次函数的图像与性质体现了数形结合、方程、建模等数学思想，对学生数学思想和数学素养的形成起到了积极的推动作用。学生学习完本章知识后，综合能力有了一定提升后，在复习时，应充分考虑学生的主观能动性，着重培养学生合作探究、创新、能力和利用已有的数学模型解决问题的能力。
二、学习目标：
（1）熟练掌握抛物线中特殊点的求法，体会数形结合、方程的数学思想。
（2）会求抛物线中常见图形的面积。体会转化、建模等数学思想。
（3）培养发散思维，力求做到一题多解，多题归一。
三、学情分析
（1）学生在新课的学习后已掌握二次函数的定义、图像及性质等知识，并能够熟练运用待定系数法求二次函数解析式。
（2）学生的分析、理解应用的综合能力较新课的学习有明显提高。
（3）学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。
四、教学过程：
1、自主探究 ____发散思维，一题多解
如何求图中阴影部分面积？

图① 图② 图③
设计意图：让学生感知图形变化，体会一般到特殊数学思想的转化，在变与不变之间寻找方法，展开小组讨论。
(1) 求规则图形面积：图①中三角形一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，这个问题较为简单，学生只要说出计算方法即可，不必讨论。
(2) 图②中三角形三边不在坐标轴上也不平行坐标轴，学生分组讨论，三分钟后展示：方法一将三角形分割为两个便于计算面积的三角形，即S△MON=S△MOE+S△NOE(先求出直线MN的解析式，再将X=0代入直线解析式中从而得到线段OE的长度)
方法二：过M、N两点分别作X轴的垂线，垂足为点F、H，
S△MON=S四边形MFHN-S△MFO-S△NOH
图③中不规则图形面积学生分组讨论五分钟后，学生展示讨论结果：
二组同学计算方法：连接OP，S四边形DOAP=S△ODP+S△AOP
四组同学计算方法：过点P作X轴的垂线，垂足为点E，S四边形DOAP=S梯形DOEP+S△APE
一组：连接AD,S四边形DOPE=S△AOD+S△ADP
五组：一组的做法S△ADP的面积不好计算，所以不合理
（2）求不规则图形的面积，或不能求解图形的面积时，通常采用分割法或补形的方法，化一般图形为特殊图形来解决，充分体现了数学教学中转化思想的应用。
（3）一题多解的方法更好的培养了学生的数学思维和数学应用能力
（4）另外使得例题中的问题二、问题三、问题四的解决很自然，符合学生从简单到复杂的学习认知。
2、例题分析

例题：已知抛物线y＝-x2+bx＋c与直线相交于A（-3,0），B（0,3）两点，与X轴的另一交点为C，抛物线对称轴为直线L，顶点为D,对称轴与X轴交点为E。

问题一 求抛物线的解析式。
设计意图：用待定系数法求二次函数解析式在省各市、州、区的中考考题中必考题，此题根据二次项系数为-1时，图像经过的两个已知点求抛物线解析式，培养了学生看图、读图获取信息的能力，充分体现了数形结合思想的应用，从而转化成二元一次方程组求解。

问题二 求△ABC的面积。
设计意图:在问题一的基础上求点C坐标，求△ABC的面积。 在自主探究中学生已经找到了解决问题的办法，所以这个问题较为简单。

问题三
在抛物线上是否存在一点G，使得S △ABC = 3S△ACG;若存在，
求出点G坐标；若不存在请说明理由。
设计意图：选此题是想把二次函数与一元二次方程相结合，运用体会数学中方程、函数、分类思想的综合运用，还体现了分类思想，因为点G的纵坐标有两种情况，刚开始部分学生只考虑到点G纵坐标为1，从而弄丢答案。综合
存在四个点，X轴上方抛物线上两个，X轴下方抛物线上两个点。

问题四
已知P是第二象限内抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，△ABP的面积为S
①求S关于t的函数关系式
②求当t为何值时，S有最大值，最大值是多少
设计意图：这是个运动型的几何问题也是二次函数最值问题，此类题常用方法是通过建立函数模型来求解，。但这一问题对学生来说也是一个难点，教师应引导学生从前面的自主探究图②中的方法入手，找到问题的切入点，从而一步步突破难点，调动了学生学习数学的兴趣，让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的方法思路，为以后的学习奠定了思想方法基础。
3、巩固练习:
如图，抛物线（≠0）与轴交于A(-4，0)，B（2，0），与轴交与点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
设计意图：在巩固与应用中提高技能。
学生独立完成后，用PPT展示解题过程（和前面所讲方法相照应）
4、课堂小结：学生自主发言，这节课学到了哪些数学方法,哪些数学思想，函数中图形面积怎样计算等。
5、课后练习
已知抛物线 的图象经过原点O，交轴于点A，其顶点B的坐标为.
（1）求该抛物线的函数关系式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P,使；

6、教学反思：与传统的复习课相比，本堂课我没有机械的“照本宣科“，而是以课改为引领进行了创新。注重学生课堂上的学习活动，体现了学生是课堂的主导者学习者，为学生创建了和谐的交流、展示平台，调动了学生学习数学的积极性，提高了学生的思维能力。通过本节课各位老师的指导，我认为在复习课的过程中应注意以下几点：
①注重学生的参与
学生展示中暴露存在的各种问题，教师不用着急，应有针对地加以引导，复习课时间比较紧，既要处理足量的题目，又要让学生充分展示他们的思维过程，这对教师来说有一定的难度，这就要求教师根据学生情况，设计合理的活动方式，不能为了做题而做题，应把目标放在能力上的培养。在处理问题三、问题四时，为了赶进度，留给学生的思考讨论的时间有点仓促，对学生展示各种解法时过快，以至于有些学生的思维没有跟上。
②注重设计的趣味性
在复习时，由于题量较大，而且比较枯燥，这就要我们教师将课堂教学活动组织生动活泼些，让学生在愉快的环境中学习。
③注重数学方法、思维的培养
方法是关键，训练“一题多解，多题归一”，才使学生的认知、归纳能力得以提高。在本节课中，留给学生谈想法，说方法的时间比较短，给课堂留下一点遗憾。另一方面，学生总结时也要突出教师的主导作用，教师应进行恰当的点拨，并做到语言精炼、准确、逻辑严密。

关键词：数学思想 、面积 、 能力与素养 、 数学方法 、 最值