邓超-与导群同构的群的某些性质.doc

与导群同构的群的某些性质
邓超
（闽江学院数学系 福建，福州 350108）

摘要：本文探讨了这样一类群：它同构与某一个群的导群。为了行文方便，文中将这类群称之为可积群，并称这类群具有可积性质，并应用初等群论的方法研究了有限群的这一性质，特别研究了有限循环群，交换群和幂零群的可积性，得到了一些初步的结果。
关键字：导群；幂零群；可积性；

1．引言及预备知识
设为一抽象群，令，称为的换位子。又令，称为的导出群，简称导群。对于任一群来说，若存在群使得和同构，则称群可积，称H为可积群，称为的原扩群，简称原群，并记。任意抽象群显然都有导群，但反过来，每个群是否都可积呢？这就是一个很自然的问题。如果不是，那么当它满足什么条件时，它可积？本文尝试对这一问题进行研究，获得了初步的结果。需要指出的是若一个群可积，那么它的原扩群并不唯一（例如对于单位元群来说，任何交换群都是其原扩群）。
注1：本文作者在考虑阶为的群G的同构分类时，发现已有的方法比较烦琐，故考虑新的思路：考虑G导群列，先考虑等情况，而后再用群的扩张理论得到，以此类推，得到G。采取这种方法面临两个困难，第一个困难是什么样的群能在该导群列中出现，即什么样的群能够作为p群的导群，将这一问题推广就得到了群的可积性问题。第二个困难是：由如何得到，即对于可积群G，如何得到其原扩群的问题。
如无特别的说明，本文中提到的群均为有限群，用记号表示为的子群，表示为的正规子群， char 表示为的特征子群，表示的中心， 表示的sylow-群。（其中p为素数）特别提请注意的是若群和群同构，文中将视之为同一个群，即。下面给出导群的若干性质:
性质1 若，则。
性质2 若，则。
性质3 设是群，则。
引理1 (见文[1，定理III 3.11])设为正整数，是阶循环群被阶循环群得扩张。则有如下定义关系：
(1)
其中参数满足关系式 ，。 (2)
反之，对每组满足(2)式得参数，(1)式都确定一个阶循环群被阶阶循环群得扩张。
引理2 (见文[1，定理IV 5.12])设为有限p群，则若循环，亦循环。
引理3 可积群的直积是可积群。
证明：由性质3立得。
引理4 若群可积， char ，则可积。
证明：可积，群使得， char ，且 char ， char ，，则由性质2得，既可积。
2 主要结果
定理1任意阶循环群皆可积；特别的，循环p群可积。
证明：设为阶循环群，我们用霍尔德定理，即引理1构造出的原群。
由霍尔德定理的证明过程可知由(1)(2)所确定的群的任何元素都可以表示成。先证这样的群的导群可由生成。则，使得。则

，的每个换位子由生成，。
下面令 (3)
则(3)的解必是(2)的解，则显然是(3)的一组解。所以，此时群的阶为（因为），即为阶循环群。所以此时群就是阶循环群的原群。
注2：上述定理说明任意阶循环群的原群都可以是一个亚循环群，同时也说明素数阶循环群这类单群是可积的；又由我们熟知的结果，知交错单群可积；这样我们就得到这两大类单群可积。事实上，对于p阶循环群来说，非交换阶群也可以作为其原群。略证如下：设，则,(否则若则循环，则交换与非交换矛盾)，故，所以是为阶为p的循环群。
推论1 有限交换群是可积群。
证明：因为有限交换群是循环p群的直积[见3，定理1.8.17]，由定理1和引理3立得。
定理2 群是幂零群，则可积的充要条件是其每个sylow子群可积。
证明：1）充分性。因为群是幂零群，故的每个sylow子群正规，且能表示成其sylow子群的直积（见[3，定理1.8.14]）又由条件及引理3得可积。
2）必要性。设，则又设（其中），则，且char。令，则 char ，由引理4得可积，又和同构，可积。
注3：从定理3可以看出研究p群可积性的重要性，类似于有限群的其它性质，我们再次看到了p群的重要性。引理1.2就是W.Burnside在研究什么群可以作为p群的导群时所得到的结论。我们将用它来证明一个结论。
定理3 若群是有限非循环p群，并且满足循环，则若可积，其原群必定不是p幂零群。
证明：用反证法。设是的原群，且为p幂零群。则。首先，循环，非循环，由引理2得不是p群，考虑的子群，显然 char 。则，是p群，使得。又是p幂零群， 。。也可以看成的原群，是p群[见2，命题VIII 1.2(1)]，这与的原群不是p群矛盾。由此得结论。
3 需进一步解决的问题
1)任意群，是否都可积？若不是，找到群可积的充要条件并给出反例；若是，给出证明。
2)对于任意群，怎样求出其原群？
以下问题均在问题1)否定的情况下有意义。
3)p群都可积吗？若答案是否定的，那么可积p群的性质又如何？(若p群都可积，则幂零群都可积。）
4)可解群可积性如何？(具体的说，可解群的sylow系与可积的关系如何？可解群的sylow系都可积，该可解群可积吗？)
5)是否所有单群都可积？
6)群的半直积对群的可积性的影响如何？(设群可积，那么他们的半直积是否可积？)将该问题推广可得到：群的构造方法对群的可积性的影响如何？

参考文献：
[1] 徐明曜 有限群导引（上册）[M] 北京：科学出版社，1999。
[2] 徐明曜 有限群导引（下册）[M] 北京：科学出版社，1999。
[3] 张勤海 抽象代数[M] 北京：科学出版社，2004。
[4] 张远达 有限群构造（上册）[M] 北京：科学出版社，1984。

Some Properties Of Group Which And Commutator Subgroup Of Another Group Are Isomorphic
Abstract：In this paper, we discuss a class of group which and commutator of subgroup of another group are isomorphic. We claim this class of group is group of keji for convenient for style of writing, and claim the group have property of keji .And study this property of finite group with elementary group theory method, study especially this property of cyclic group, Abelian group and nilpotent group, obtain some preliminary results.
Key words：commutator of subgroup；nilpotent group；property of keji;