向量高考题选.doc

平面向量高考题分类解析及高考展望与预测
1。考查平面向量的基础知识及基本运算。
1．（安徽卷）在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）
解：，，所以。

2．（山东卷）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
解：设d＝（x，y），因为4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，选D
3．（山东卷）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为
(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）
解：4a＝（4，－12），3b－2a＝（－8，18），设向量c＝（x，y），依题意，得4a＋（3b－2a）＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6，选D

4．（福建卷）已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于
A. B.3 C. D.
解析：点C在AB上，且。 设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，)，C点的坐标为(x，y)=(，)，，则∴ m=，n=，=3，选B.
5．（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量
A. B. C. D.
解析：，故选A.
6．（湖南卷）如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是
A
B
O
M
图1
A．　　　　　B.
C. D.
解析：如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，
由图知，x<0，当x=－时，即=－，P点在线段DE上，=，=，而<<，∴ 选C.
7．（辽宁卷）设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【解析】

解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B.
【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.
A
O
M
P
B
图2
8.（湖南卷）如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 .
解析:如图, , 点在由射线, 线段
及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动,
且，由向量加法的平行四边形
法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以
OB和OA的反向延长线为两邻边，∴ 的取值范围
是(－∞，0)；
当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，∴ 的取值范围是(，).

2。灵活考查向量的数量积公式。
9．（四川卷）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：如图，已知正六边形，设边长，则∠=.，,=，∠=，，=，=0，<0，∴ 数量积中最大的是，选A.
10．（湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则
A．（） B．（） C．（） D．（）
解：设＝（x，y），则有解得x＝，y＝，选B

3．灵活考查向量的夹角公式。
11.（天津卷）设向量与的夹角为，，，则　　　　　．
解析：设向量与的夹角为且∴ ，则。
33.（北京卷）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
解：a+b＝（cos＋cos，sin＋sin），a-b＝（cos－cos，sin－sin），设
a+b与a-b的夹角为q，则cosq＝0，故q＝
12．(重庆卷)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是
(A) (B) 或
（C） （D）或
解析：与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则，解得或，选B.
13．（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )
A.[0,] B. C. D.
解析： 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，选B.
14．（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
解析：向量、满足且设与的夹角为θ，则cosθ==，
∴ θ=，选C.

4．灵活考查两向量的平行与垂直的条件。
15．(陕西卷) 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．
16．（全国II）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3
解：//Þ4×3－2x＝0，解得x＝6，选B

17．（湖北卷）已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则
A. B. 4 C. D. 2
解：由a＋2b与a－2b互相垂直Þ（a＋2b）·（a－2b）＝0Þa2－4b2＝0
即|a|2＝4|b|2Þ|a|＝2|b|，故选D
18．（湖南卷）已知向量若时，∥；时，，则
　 A．　 B. 　 C. 　 D.
解析：向量若时，∥，∴ ；时，，，选C.
19.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若｜a｜=1,则｜a｜+｜c｜的值是　　　
【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。
解析：
，所以
【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。

3。考查向量与其他数学知识的综合
20.（湖北卷）设函数，其中向量，，，。
（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
21.（全国II）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；
（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
解(1).

当=1时有最大值,此时，最大值为
本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大
22．（四川卷）已知是三角形三内角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求
解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
（Ⅰ）∵ ∴ 即
,
∵ ∴ ∴
（Ⅱ）由题知，整理得
∴ ∴
∴或
而使，舍去 ∴
∴
23．（江苏卷）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.
【正确解答】设，，，
则
由，则，
化简整理得 所以选B
24．已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
(I) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
【解析】(I)证明1:

整理得:
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:

整理得: ……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径
证明3:

整理得: ……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为

展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

当y=p时,d有最小值,由题设得 .
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得

解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

又因

当时,d有最小值,由题设得 .
【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.