考点43直线与圆锥曲线的位置关系.doc

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考点43 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ8）为坐标原点，为抛物线：的焦点，为C上一点，若，则△POF的面积为（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.
【解析】选C.设，则，解得，因为为C上一点，则，得 ，所以.
2.（2013·江西高考文科·Ｔ9）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|= （ ）
A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3
【解题指南】由抛物线的定义把转化为点M到准线的距离，再结合直线的斜率，借助直角三角形进行求解.
【解析】选C.设直线FA的倾斜角为，因为F（0,1），A（2,0），所以直线FA的斜率为，即，过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得，在中,可得，即|FM|：|MN|=.
3. （2013·重庆高考文科·Ｔ10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可.
【解析】选A.由题意知, 直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，所以渐近线斜率满足,解得.故选A.
4. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ10）已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【解题指南】本题中给出的中点坐标，所以在解题时先设出，两点坐标，然后采用点差法求解.
【解析】选D.由椭圆得，，
因为过点的直线与椭圆交于，两点，
设，,则，
则 ①
②
由①-②得，
化简得.
，
又直线的斜率为，即.
因为，所以，解得，.
故椭圆方程为.
二、解答题
5.（2013·安徽高考理科·Ｔ18）设椭圆的焦点在轴上
（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。
【解析】(1)因为焦距为1，所以，解得，从而椭圆E的方程为.
（2） 设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，，故直线的方程为, 当x=0时，，即点Q坐标为，因此直线的斜率。由于，所以
化简得 ①
将① 代入椭圆E的方程，由于点在第一象限，解得，即点P在定直线x+y=1上。
6. （2013·天津高考文科·Ｔ18） 与（2013·天津高考理科·Ｔ18）相同
设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b的值，写出椭圆方程.
(Ⅱ)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示求解.
【解析】(Ⅰ)设由知过点F且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又，从而，所以椭圆方程为.
(Ⅱ)设，由得直线CD的方程为由方程组消去y，整理得
可得因为所以

由已知得，解得
7.（2013·北京高考文科·Ｔ19）直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点。
（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。
【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长.
(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.
【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，因此A、C点的坐标为，于是AC的长为。
（2）只需证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆与椭圆的交点。
， ，点与C点的横坐标互为相反数或相等，
此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。
8. （2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a>b>0)右焦点的直线x+y-0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
（1）求M的方程
（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值
【解题指南】（1）涉及到弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确立M的方程；
（2）将四边形的面积表示出来，可转化为S＝，然后利用函数的知识求最值.
【解析】设，则①,
②,①-②得
.因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，
即，即，又因为，所以，所以M的方程为.
(2)因为，直线AB的方程为，所以设直线CD方程为，将代入得：，解得 不防令、B，所以可得，将代入得：，
设，，则
又因为，即，
所以当时，CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为
9. （2013·辽宁高考文科·Ｔ20）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ20）相同
如图，

抛物线点在抛物线上，过
作的切线，切点为(为原点时，重合于).当时，切线的斜率为。
求的值；
当在上运动时，求线段的中点的轨迹方程（重合于，中点为）.
【解题指南】利用导数的几何意义，求切线的斜率，建立相关参数的方程求参数；根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系，消去相关点的坐标，可得轨迹方程。
【解析】设，则

已知切线在抛物线上的切点为，
由导数的几何意义得，

所以从而
故点
由点斜式得切线的方程：
由于点在抛物线上，又在切线上，
所以得
将代入上述方程组，即得
故的值为2.
设
又点在抛物线上，
则，
由于为线段的中点，所以 ①
切线的方程分别为： ②
③
由②③得切线得交点的坐标 ④
又由于点在抛物线上，所以 ⑤
由④⑤得 ⑥
由①得， ⑦
将⑥代入得 ⑧
由⑦⑧得.
当时，重合于，中点N为,其坐标满足方程
综上可知，线段的中点的轨迹方程为.
10. （2013·湖南高考文科·Ｔ20）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。
（Ⅰ）求圆的方程；
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。
【解题指南】第（Ⅰ）问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长，圆心就是原点关于直线的对称点，否则会增加许多计算量。第(Ⅱ)问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长，利用弦长公式
求直线被椭圆截得的弦长，然后再根据化简的结果用相关知识去解题。
【解析】（I）由题设知的坐标分别是，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线的对称点，设圆心坐标为，由得，所以圆C的方程为
（II）由题意，可设直线方程为，则圆心到直线的距离为
，所以，
由得，
设与E的两个交点坐标分别为，
则，
于是
，
从而
，
当且仅当，即时等号成立，故当时，最大，此时，直线的方程为或，即，或.
11.(2013·浙江高考理科·T21)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: 的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径. l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程.
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a,b的值;(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k),把△ABD的面积表示出来(一定是关于k的表达式),当△ABD面积取最大值时,求k的值.
【解析】(1)由题意得,a=2,b=1,
所以椭圆C1的方程为: .
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知,直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为:y=kx-1,
又圆：，故点到直线的距离
所以
又，故直线的方程为：
由，消去，整理得
故，，所以
设△的面积为，则
所以，
当且仅当时取等号
所以所求的方程为.
12.（2013·安徽高考文科·Ｔ21）已知椭圆C:的焦距为4，且过点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。
【解题指南】（1）由题设的两个条件可得a,b；（2）设点，由 用，写出，联立直线QG与椭圆的方程，整理转化为关于x的一元二次方程问题求解。
【解析】(1)因为焦距为4，所以，又因为椭圆C过点，所以，故，从而椭圆C的方程为.
（2） 一定有唯一的公共点.由题意,设E点坐标为,D点坐标为(xD,0),则，
再由知，，即，由于，故，
因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点.故直线QG的斜率又因为在椭圆C上，所以，①
从而故直线QG的方程为, ②
将②代入椭圆C方程，得 ③
再将①代入③，化简得，解得，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
13.(2013·浙江高考文科·T22)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).

(1)求抛物线C的方程.
(2)过F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.
【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:y=kx+1,由，
消去，整理得
所以
从而
由解得点的横坐标
同理点的横坐标，
所以
令，则
当时，
当时，
综上所述，当时，即时，的最小值是.
14. （2013·山东高考理科·Ｔ22）椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. 
（Ⅰ）求椭圆C的方程； 
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； 
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.
【解题指南】（Ⅰ）由椭圆及过F1的线段长，可列出方程求出椭圆的方程；（Ⅱ）先设出点P的坐标，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距；离相等，可列出方程求出点P的横坐标与m的关系，由椭圆的范围求出m的范围.（Ⅲ）可先设出直线的点斜式方程，与椭圆联立消去y，由于l与椭圆C有且只有一个公共点，即，可得出k与点P的坐标的联系，然后将斜率用坐标表示出来的式子代入即可.
【解析】（Ⅰ）由于，x=-c代入椭圆方程，
得，由题意知，即，
又，所以a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设，
又,
所以直线的方程分别为
:，
:，
由题意知，M到直线的距离相等，
所以，
由于点P在椭圆上，所以
所以
因为，，
可得，
所以
因此
（Ⅲ）设，则直线的方程为，
联立
整理得.
由l与椭圆C有且只有一个公共点，所以，
即
即，又
所以，
故，
由（Ⅱ）知，
所以，
因此为定值，这个定值为-8.
15. （2013·山东高考文科·Ｔ22）在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.

(I)求椭圆C的方程；
(II)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设,求实数t的值.
【解题指南】（Ⅰ）可由椭圆的定义及简单的几何性质，易知椭圆的标准方程；(II)由于A,B两点任意，因此需要考虑直线AB的斜率是否存在，斜率不存在时，设出A,B两点坐标，由已知条件得出P点坐标代入椭圆方程即可求得t的值，斜率存在时，可设直线的方程，然后与椭圆联立，根据条件得出t的关系式.
【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，
由题意知，解得
因此椭圆C的方程为.
(II) 当AB⊥x轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0),
由
由=t=t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0),
又P在椭圆上,所以+02=1,所以t2==4或,
所以t=2或(舍去负值).
当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m≠0,代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.…(*)
由三角形面积公式知, |xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|
=|m||xA-xB|=,
所以, ,
即,整理得, …①
又，
所以， ，
即，将其代入椭圆方程得
，
整理可得，②
联立①②，消去，约分掉，移项整理得，，
解之可得，或，均能使式的，
所以或（舍去负值）.
综上，或.

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