云南中考数学《专项二：解答题》精讲教学案类型② 与圆的切线有关的证明.doc

类型②　与圆的切线有关的证明
,备考攻略)

1．切线的证明．
2．切线的性质的运用．

证明切线连半径或者作垂直拿不准．

在证明切线时，若切点明确，则“连半径，证垂直”，若切点不明确，则“作垂直，证半径”．在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线．

1．若切点明确，则“连半径，证垂直”．
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
2．若切点不明确，则“作垂直，证半径”．
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；②直线与半径的关系是互相垂直．在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、总结常添加的辅助线．,典题精讲)

方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连接OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直．

【例1】(2017沈阳中考)如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若sin∠EGC＝，⊙O的半径是3，求AF的长．
【解析】(1)连接OE，根据圆周角定理可得∠EOG＝2∠C，因∠ABG＝2∠C，即可得∠ABG＝∠EOG，即可判定AB∥OE，再由EF⊥AB，可得∠AFE＝90°，即可得∠GEO＝∠AFE＝90°，即OE⊥EG，又因为OE是⊙O的半径，所以EF是⊙O的切线；(2)根据已知条件易证BA＝BC，再求得BA＝BC＝6，在Rt△OEG中求得OG＝5，在Rt△FGB中，求得BF＝，即可得AF＝AB－BF＝.
【答案】解：(1)详见解析；(2).

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，以B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切．

证明：连接OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴＝，∠BOD＝∠EOD.
又∵OB＝OE，OF＝OF，
∴△BOF≌△EOF(SAS)．
∴∠OBF＝∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF＝90°.
∴EF与⊙O相切．
2．已知：如图AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB＝30°，BD＝OB，D在AB的延长线上．
求证：DC是⊙O的切线．

证明：连接OC，BC.
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝∠30°.
∴∠BOC＝∠A＋∠ACO＝60°.
又∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形．
∴OB＝BC.
∵OB＝BD，
∴OB＝BC＝BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线．　
3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2＝OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线．
证明：连接OC.
∵OA2＝OD·OP，OA＝OC，

∴OC2＝OD·OP，
＝.
又∵∠COD＝∠COD，
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP＝∠ODC.
∵CD⊥AB，
∴∠OCP＝90°.
∴PC是⊙O的切线．　
方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题)．
【例2】(2017绥化中考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.

(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．
【解析】(1)过点O作OG⊥DC，垂足为G，先证明∠OAD＝90°，从而得到∠OAD＝∠OGD＝90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO，则OA＝OG＝r，则DC是⊙O的切线；(2)连接OF，依据垂径定理可知BE＝EF＝12，在Rt△OEF中，依据勾股定理可求得OF＝13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可．
【答案】解：(1)过点O作OG⊥DC，垂足为G.
∵AD∥BC，AE⊥BC于E，
∴OA⊥AD.∴∠OAD＝∠OGD＝90°.
在△ADO和△GDO中，
∴△ADO≌△GDO，∴OA＝OG，∴DC是⊙O的切线；
(2)如图所示：连接OF.
∵OA⊥BC，∴BE＝EF＝BF＝12.
在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，∴OF＝＝13.
∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝＝.

4．已知：如图，AC，BD与⊙O切于A，B，且AC∥BD，若∠COD＝90°.
求证：CD是⊙O的切线．

证明：连接OA，OB，作OE⊥CD，点E为垂足．
∵AC，BD与⊙O相切，
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∵∠COD＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°.
∵∠4＋∠5＝90°.
∴∠1＝∠5.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO.
∴＝.
∵OA＝OB，
∴＝.
又∵∠CAO＝∠COD＝90°，
∴△AOC∽△ODC，
∴∠1＝∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD，
∴OE＝OA.
∴E点在⊙O上．
∴CD是⊙O的切线．

1．(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是(　D　)

A．15° B．30° C．60° D．75°
(第1题图)
　　　(第2题图)

2．(潍坊中考)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(　D　)
A．10 B．8 C．4 D．2
3．(无锡中考)如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C从A点出发，在边AO上以2 cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，

在边BO上以1.5 cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了____s时，以C点为圆心，1.5 cm为半径的圆与直线EF相切．
4．(绵阳中考)如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若OF＝4，求AC的长度．

解：(1)DE与⊙O相切．
证明如下：连接OD，AD，
∵点D是的中点，
∴＝，
∴∠DAO＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
(2)连接BC交OD于点H，延长DF交⊙O于点G，由垂径定理可得：OH⊥BC，BH＝HC，＝＝，
∴＝，
∴DG＝BC，
∴OH＝OF＝4，
∵OB＝OA，BH＝HC，OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC＝2OH＝8.　

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