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带电粒子的运动问题及分析

带电粒子的运动问题是中学物理学习中一类非常重要的问题。这类问题涉及力学、电磁学、运动学等知识，充分体现了科内综合的特点，是考查学生分析和解决问题能力的好问题。它不仅是高考的热点问题，同时也是为将来学习电子技术打基础。
带电粒子的运动问题主要分以下四种基本情况：
1。电场中的加速问题：带电粒子在电场中只受电场力作用的问题。如果在匀强电场中问题可以根据牛顿运动定律结合运动学公式或动能定理进行处理。但对于非匀强电场中的问题只能根据动能定理来解决了。这类问题主要解决的物理量是末速度。例如：示波管中电子枪打出的电子被加速电场加速的问题。
2。电场中的偏转问题：带电粒子以一定的速度和电场成一定角度进入电场，这样带电粒子的受力方向与速度方向不在同一直线上，粒子将做曲线运动。常见的是带电粒子垂直电场方向射入电场，这类问题的分析方法和平抛运动问题的分析方法一样，把粒子的运动分解成沿受力方向的匀加速运动和沿初速度方向的匀速运动。主要解决的问题是带电粒子的末速度、偏转距离、偏转角度。
3。磁场中的偏转问题：射入磁场的带电粒子，只要它的速度方向与磁场成一定的角度。它就受到磁场对它的洛伦兹力作用。如果垂直射入匀强磁场的带电粒子，它的初速度方向和所受洛伦兹力的方向都在跟磁场方向垂直的平面内，没有作用使粒子离开这个平面，所以粒子只能在这个平面运动，洛伦兹力总是跟粒子运动方向垂直，不对粒子做功，它只能改变粒子运动的方向，而不改变粒子的速率，所以粒子运动的速率v是恒定的。这时洛伦兹力F=qvB 的大小不变，即带电粒子受到一个大小，方向总与粒子运动方向垂直的力，因此带电粒子做匀速圆周运动。其向心力就是洛伦兹力。主要解决的问题是运用半径公式r=mv/qB和周期公式T=2πm/qB及圆的一些几何关系解决运动中的空间量S,时间量t。
4。复合场中的运动问题：所谓复合场中的运动，就是在两个或两个以上的场中运动的问题。带电粒子在复合场中要受到两个或两个以上的力的作用，运动情况一般比较复杂，高中阶段很难解决。但可设计出粒子匀速运动或匀速圆周运动的问题。解题方法是分析出受力情况，根据粒子的运动特点来判断未知量。
带电粒子运动的问题在高考命题中可以以上述情况中的一种出现，也可能以两种或几种情况联合出现 来达到考核的目的。下面以几道试题为例来说明一下具体的分析和解决方法。
例1．如图1，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行板间的电场中，入射方向跟极板平行。整个装置处在真空中，重力可忽略，在满足电子能射出磁场区的条件下，下述四种情况中一定能使电子的偏转角变大的是： （1992全国高考）

图1
A． U1 变大，U2变小。B。U1变小，U2变大。
C． U1变大，U2变小。D。U1变小，U2变小。
分析及解答：这是一道在电场中加速后，再进入电场中偏转的问题。电子在加速电场中的运动过程可根据动能定理
e U1 = mv21/2 (1)
在平行板间的电场中运动可分解成沿电场力方向和垂直电场力方向的两个分运动。根据垂直电场力方向的分运动可知运动时间
t = L/V1 (L为平行板的长度) （2）
沿电场方向的加速度
a = e U2/md (d为板间距离) （3）
沿电场力的方向的末速度 Vy = at （4）
偏转角的正切值tanθ= Vy/ V1= L U2/2d U1 (5 )
由（5）式可得出应选B。
例2 .如图2 所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的 夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点距离为L,求该粒子的电量和质量之比q / m。（2002全国）
这是一道带电粒子只在磁场中运动的问题，带正电的粒子射入磁场后，由于受到洛伦兹力作用，粒子将沿图2 中实线的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为L，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x轴的夹角仍为θ。由洛伦兹力公式和牛顿第二定律可得
q v0B = mv02/R (式中R为圆轨道半径) (1)
再由几何关系可知圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，可得出
L/2 =Rsinθ (2)
联立（1）、（2）式，解出q / m = 2 v02sinθ/LB
图2 图3
像例2这样的带电只在磁场中运动的问题高考中也是经常出现的，如：94年全国31题、99年全国24题等。解题知识涉及洛伦兹力公式、牛顿第二定律以及有关圆的几何知识。其中几何关系的确定是解题的关键。
例3．电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场加速后，进入一圆形匀强磁场区，如图3所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O,半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？（2002年理综合） 图3
分析及解答：这是一道在电场中加速后进入磁场中发生偏转的问题，电场中加速可根据动能定理来解决。 e U = mv2/2 (1)
电子进入磁场后只受洛伦兹力作用做圆周运动，它运动轨迹应如图4中实线所示。

电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C,半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则电子在电场中根据动能定理
eU = mv2/2 （1）
在磁场中根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律
evB = m v2/R (2)
再由几何关系可知
tanθ/2 = r/R （3）
由以上各式解得
B = ( tanθ/2)/r
像例3这样粒子在电场和磁场之间运动的问题在高考试卷中也经常出现，如：98年23题、2000年21题、2001年理综合30题第一问等。解题知识涉及动能定理、洛伦兹力公式、牛顿第二定律以及有关圆的几何知识。其中几何关系的确定是解题的关键。
例4．设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场。已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E = 4.0伏/米, 磁感应强度的大小B = 0.15特。今 有一个带负电的质点以v = 20米/秒的速度在此区域内沿垂直电场方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向。（角度可用反三角函数表示）。（96年全国）
分析及解答：根据带电粒子做匀速直线运动的条件，得知带电质点所受重力、电场力和洛伦兹力的合力必定为零。由此推知三个力在同一竖直平面内，如图5所示，质点的速度垂直纸面向外。
qE
qvB
由合力为零的条件，可得

B E
mg
求得带电质点的电量与质量之比
图5
因质点带负电，电场方向与电场力方向相反，因而磁场方向也与电场力方向相反。设磁场方向与重力方向间夹角为θ，则有
qEsinθ=qvBcosθ
tanθ=vB/E =0.75
θ=tan-10.75
即磁场是沿着与重力方向夹角为θ=tan-10.75，且斜向下方的一切方向。
综上所述，带电粒子的运动问题是高考试卷中出现频率很高的一类问题，而且经常作为压轴题出现。有些同学对此类问题感觉很头疼，其实只要分清是上述四种基本类型中的哪一种，再根据平衡条件、动能定理、洛伦兹力公式、牛顿第二定律以及有关圆的几何知识来解决是完全可以做出来的。