数学文科（全国卷）试题+解析2012.doc

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试
数学文史类(全国卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
第Ⅰ卷
第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(　　)
A．AB B．CB C．DC D．AD
2．函数(x≥－1)的反函数为(　　)
A．y＝x2－1(x≥0) B．y＝x2－1(x≥1)
C．y＝x2＋1(x≥0) D．y＝x2＋1(x≥1)
3．若函数(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A． B． C． D．
4．已知α为第二象限角，，则sin2α＝(　　)
A． B． C． D．
5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为(　　)
A． B．
C． D．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B． C． D．
7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
8．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．2 B． C． D．1
9．△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A． B．
C． D．
10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)
A． B． C． D．
11．已知x＝ln π，y＝log52，，则(　　)
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)
A．8 B．6 C．4 D．3
第Ⅱ卷
第Ⅱ卷共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．(x＋)8的展开式中x2的系数为__________．
14．若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为__________．
15．当函数y＝sinx－cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．
18．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．

(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
19．求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．
21．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．
22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r；
(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

1． B　∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，
∴CB．
2． A　∵，∴y2＝x＋1，
∴x＝y2－1，x，y互换可得：y＝x2－1.
又∵.∴反函数中x≥0，故选A项．
3．C　∵是偶函数，∴f(0)＝±1.
∴.∴(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，.故选C项．
4．A　∵，且α为第二象限角，
∴.
∴.故选A项．
5． C　∵焦距为4，即2c＝4，∴c＝2.
又∵准线x＝－4，∴.
∴a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.
∴椭圆的方程为，故选C项．
6．B　当n＝1时，S1＝2a2，又因S1＝a1＝1，
所以，.
显然只有B项符合．
7． C　由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为，剩余5人进行全排列：，故总的情况有：·＝480种．故选C项．
8． D　连结AC交BD于点O，连结OE，
∵AB=2，∴.

又，则AC=CC1.
作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.
由OE为△ACC1的中位线知，
CM⊥OE，M为CH的中点．
由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，
∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.
∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．
又△ACC1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.
9． D　∵a·b＝0，∴a⊥b.
又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴.
∴.
∴.
∴.

10． C　设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，
由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
∴2m－m＝.∴.
又，
∴由余弦定理可得
cos∠F1PF2＝.
11． D　∵x＝ln π＞1，y＝log52＞，
，且＜e0＝1，∴y＜z＜x.
12． B　如图，由题意：

tan∠BEF=，
∴，∴X2为HD中点，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，∴X6与E重合，故选B项．
13．答案：7
解析：∵(x＋)8展开式的通项为Tr＋1＝x8－r()r＝Cr82－rx8－2r，
令8－2r＝2，解得r＝3.
∴x2的系数为2－3＝7.
14．答案：－1
解析：由题意画出可行域，由z＝3x－y得y＝3x－z，要使z取最小值，只需截距最大即可，故直线过A(0,1)时，z最大．

∴zmax＝3×0－1＝－1.
15．答案：
解析：y＝sinx－cosx＝．
当y取最大值时，，∴x＝2kπ＋.
又∵0≤x＜2π，∴.
16．答案：
解析：设正方体的棱长为a.连结A1E，可知D1F∥A1E，

∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，
在△AEA1中，
.
17．解：由A，B，C成等差数列及A＋B＋C＝180°，得B＝60°，A＋C＝120°.
由2b2＝3ac及正弦定理得2sin2B＝3sinAsinC，
故
cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－，
即cosAcosC－＝，cosAcosC＝0，
cosA＝0或cosC＝0，所以A＝90°或A＝30°.
18．解：(1)由得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；
由得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n＞1时有an＝Sn－Sn－1＝，
整理得.
于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…
an－1＝an－2，an＝an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，整理得.
综上，{an}的通项公式.
19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．

又PA⊥底面ABCD，
所以PC⊥BD．
设AC∩BD=F，连结EF.
因为，PA=2，PE=2EC，
故，，，
从而，，
因为，∠FCE=∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED．
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC．
又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC．
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD∥平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
解法二：(1)证明：以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

设C(，0,0)，D(，b,0)，其中b＞0，
则P(0,0,2)，E(，0，)，B(，－b,0)．
于是＝(，0，－2)，＝(，b，)，＝(，－b，)，从而，，
故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则m·＝0，m·＝0，
即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，
则n·＝0，n·＝0，
即且，
令p＝1，则，，n＝(1，，)．
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即，故，
于是n＝(1，－1，)，＝(，，2)，
，〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成角和〈n，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.
20．解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；
Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；
A表示事件：第3次发球，甲得1分；
B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；
C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．
(1)B＝A0·A＋A1·，
P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，
P(B)＝P(A0·A＋A1·)
＝P(A0·A)＋P(A1·)
＝P(A0)P(A)＋P(A1)P()
＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.
(2) P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，
P(A2)＝0.62＝0.36.
C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2
P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)
＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)
＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)
＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.
21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.
①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；
②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1－，x2＝－1＋.
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；
当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，
故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.
因此f(x1)＝x13＋x12＋ax1
＝x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝x12＋ax1
＝(－2x1－a)＋ax1＝(a－1)x1－.
同理，f(x2)＝(a－1)x2－.
因此直线l的方程为y＝(a－1)x－.
设l与x轴的交点为(x0,0)，得，
．
由题设知，点(x0,0)在曲线y＝f(x)上，故f(x0)＝0，
解得a＝0或或.

22．解：(1)设A(x0，(x0＋1)2)，对y＝(x＋1)2求导得y′＝2(x＋1)，
故l的斜率k＝2(x0＋1)．
当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1.
圆心为M(1，)，MA的斜率.
由l⊥MA知k·k′＝－1，
即2(x0＋1)·＝－1，
解得x0＝0，故A(0,1)，
r＝|MA|＝，即.
(2)设(t，(t＋1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为y－(t＋1)2＝2(t＋1)(x－t)，
即y＝2(t＋1)x－t2＋1.
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，
即，
化简得t2(t2－4t－6)＝0，
解得t0＝0，，.
抛物线C在点(ti，(ti＋1)2)(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y＝2x＋1，①
y＝2(t1＋1)x－t12＋1，②
y＝2(t2＋1)x－t22＋1，③
②－③得.
将x＝2代入②得y＝－1，故D(2，－1)．
所以D到l的距离.