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演绎过程的精彩
—两道函数开放题的探究学习实录与评析
湖南省衡东县第五中学 罗江英
2007年秋季湖南省开始全面推行高中数学新课程改革，笔者作为一名在一所农村中学从事高中数学教学的一线教师，必须转变教学观念，在教学实践中实施更加有效的教学方式才能胜任新课程教学，取得更加理想的教学效果。下面是笔者在平时的课堂教学中颇有感触、受益匪浅的一课与同行交流
本节课是人教A版必修模块1第一章«集合与函数的概念»中«函数的概念»第二课时，笔者设计了两道已知函数的值域求定义域的开放题，通过这两道题的探究进一步加强学生对函数的定义域、值域的认识和理解，并能清楚意识到它们的紧密联系，全面把握好函数的概念。
多媒体演示：
（1）已知一个函数的解析式为y=x2它的值域为{1、4}，求此函数的定义域
（2）已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为[1、4]，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数
为了体现学生的主体性地位，充分听取学生的意见和想法，我决定放手让学生先思考题1，组织学生分组讨论，然后交流。 （学生讨论片刻）
生1：可以是{1，2}，{1，-2}，{-1，2}，{-1，-2}
师：只有这四个吗？（学生困惑，又开始相互讨论）
生2：我发现{1，-1，2}，{1，-1，-2，}{-1，-2，2}，{1，-2，2}也是可以的
生3：（迫不及待）还有{1，-1，-22}
师：就这么多吗？确定？（培养学生质疑意识，理清解题思路）
生4：我们知道函数的定义域无非是由1，-1，2，-2四个数中某几个数的组合，而且必须同时有绝对值等于1，2的数，我们可以按照：两个元素，三个元素，四个元素进行划分，有规律地写下去，所以一共有9个集合满足题意，分别是（在黑板上板书）：
{1，2}，{1，-2}，{-1，2}，{-1，-2}
{1，-1，2}，{1，-1，-2，}{-1，-2，2}，{1，-2，2}
{1，-1，-2，2}
师：对的，生4抓住了问题的本质，并告诉我们要按照一定的规律和程序去做一件事情，这样才不至于出现混乱和遗漏的状况。现在我们把这道题变化成题2 （教师让学生讨论片刻）
生5：与题1类似，我也想到了四个，定义域分别是[1、2]， [-2、1]， [-2、-1]，
[-1、2]
生6：我有不同的意见，我认为定义域为[-2、1]或[-1、2]时，值域应为[0、4]，即只有
[1、2]，[-2、-1]是符合题意的
（大多数学生赞同）
师：莫非只有y=x2 x∈[1、2]， y=x2 x∈[-2、-1]这两个函数吗？（学生陷入沉思）
生6补充：定义域还可以是[1、2]∪[-2、-1]
师：对，当定义域为[1、2]∪[-2、-1]时，y=x2的值域也是[1、4]，所以定义域为
[1、2]∪[-2、-1]也是可以的，那你是怎样想到的呢?
生6：我是通过画图象看出来的
师：非常好，你想到了一种直观形象的方法—图象法，下面请大家借助图象来分析吧，看看是否还有其它的答案？
（数形结合，这是茫然之处课堂升华的最佳途径，此时气氛活跃起来，学生开始动手画图）
同时，教师打开«几何画板»，设置两个区间[1、2]，[-2、-1]，分别构造区间内的动点A和в，设置一个拖动A，в两点且图象也随之变化的演示动画，如图1:
（让学生在逼真的图像演示下思考问题，增强直观形象性）
生7：[1、2]∪[-2、-1]， [1、]∪[-2、-1]， [1、2]∪[-2、-]…
生8：[、2]∪[-、-1]， [1、]∪[-2、]， [1、]∪[-2、-]…
生9：我发现只要是[1、2]与 [-2、-1]的子集的并集或 [-2、-1]与[1、2]的子集的并集就可以满足题意
同学们投去赞许的目光，这时引起了部分学生的注意，突然有个学生站起来
生10：我发现[-2、-1]的子集与[1、2]的某个子集的并集也是可以的，比如生8举的例就满足这个特征
大多数学生认可的点了点头，还有少数学生没反应过来，教师继续演示«几何画板»动画，让学生进一步感受数学结论
师补充：生10说得对，大家注意，实际上若取[-2、-1]的子集与[1、2]的某个子集时，对应的函数值要能取得值域范围内的一切值。比如，若取[-2、-1]的子集中包含-2时，那么[1、2]的子集必然包含1。
学生的积极性被调动，一石激起千层浪，气氛很活跃，
生11：老师，我发现[-、-]∪[、]∪[1、]∪[-2、-]也是可以的
由于区间过多，学生愕然
教师继续打开几何画板，设置两个区间[1、2]与 [-2、-1]，分别构造每个区间内的动点A，B和E以及C，D和F。设置一个拖动A，B，C，D，E，F各点且图象也随之变化的动画演示：如图2：
（让学生继续从直观的图像中感受）
生11：我观察到[-、-]∪[、]∪[1、]∪[-2、-]也是满足题目要求的
这是我预料的，因为图象的演示已经说明了这一点，我边听他说边演示，学生也在演示过程中接受了生10的结论
之后，又有学生写了五个区间并起来的，六个区间并起来的等等都满足题意，差一点控制不了学生的思维浪潮。此时学生们完全沉浸在成功的喜悦中
教师布置任务：请同学们按照平时划分的十个数学学习小组，每个小组写一个关于本节课的学习报告（附表如下）下课
附表：

学习报告表
课题

组长
组员
研究过程

研究方法

研究结论

自我评价

教师意见

评析：
（1）在新一轮的高中数学新课程改革中，教师必须坚定不移地推行教学方式和学习方式的转变。教师应由数学知识的传授者转变为数学活动的组织者、指导者、参与者和研究者，让学生主动从事观察、实验、猜测、验证、推理与合作交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，成为数学学习的真正主人。依据高一学生年龄特征（处在初中到高中的过渡阶段）和认知特点（在函数概念的第一课时已有初步认识），笔者设计了探索性和开放性的数学问题——已知函数的值域，探究函数的定义域，给学生提供了很好的自主探索的素材，激发了学生的兴趣，调动了思维的积极性。
（2）彻底改变了传统教学中“重结论，轻过程”的教学模式，而是让学生积极主动进行猜想、分析、画图、观察等一系列的数学活动演绎过程的精彩，在这个过程中学生清楚地认识到函数的定义域，值域及它们的关系，全面把握函数的概念
（3）利用几何画板的动画演示函数的图像，直观、、形象生动，消除了学生的疑点，突破了学生的难点，再一次激发了学生的学习热情
（4）针对本节课的探究主题，让学生课后完成学习报告表，一方面使学生加强合作交流，取长补短，共同提高，另一方面培养学生在学习过程中不断地总结数学知识、数学思想方法的良好学习习惯
（5）在今后的教学中，继续加强探索开放式的数学教学模式，针对学生特点和教材内容设计一些富有创造性、挑战性、灵活性、开放性的教学内容，为学生积极主动学习提供广阔的思维空间