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七年级数学 第16讲：一元一次方程应用
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一．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
1. 和、差、倍、分问题：
增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

2. 等积变形问题：
（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.
（2） 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝
②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc
例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．

3. 工程问题：
工程问题：工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
 例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

4.行程问题：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速不变的特点考虑相等关系．
例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

例5、轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度．

5. 商品销售问题
（1）商品利润率＝ （2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：商品售价=商品标价×折扣率
（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

6. 储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%） 利润＝×100%
例7. 国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息×20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%，某储户取出1年到期的本金及利息时，扣除了利息税31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？

7. 数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．
十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）
（2） 数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.
例8．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多l0．求原来的两位数．

课内练习：
1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程__________.
2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.
3. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了＿＿＿＿㎝.
4. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m，若5天完工，两队每天各挖几米？

5. 已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________。
6. A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？

7． 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

8． 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

9． 汽车从甲地到乙地，若每小时行使45千米，就要比原计划延误半小时到达；若每小时行驶50千米就可以比原计划提前半小时到达．求甲、乙两地的路程及原计划的时间．