2024年经济数学基础综合练习及参考答案.doc

第一部分 微分学
一、单项选择题
1．函数的定义域是（ D ）．
A． B． C． D． 且
2．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．
A．， B．，+ 1
C．， D．，
3．设，则（ C ）．
A． B． C． D．
4．下列函数中为奇函数的是（ C ）．
A． B． C． D．
5．已知，当（　A ）时，为无穷小量.
A. B. 　　C. 　 D.
6．当初，下列变量为无穷小量的是（ D ）
A． B． C． D．
7．函数 在x = 0处连续，则k = (C )．
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）．
A． B． C． D．
9．曲线在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．
A. y = x　 B. y = 2x 　　C. y = x　　　 D. y = -x
10．设，则（ B ）．
A． B． C． D．
11．下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x
12．设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ B ）．
A． B． C． D．
二、填空题
1．函数的定义域是 [-5，2] ．
2．函数的定义域是 (-5, 2 ) ．
3．若函数，则 ．
4．设，则函数的图形有关　y轴　　　对称．
5．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6．
6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q 2 ．
7. 　　1　　　.
8．已知，当 时，为无穷小量．
9. 已知，若在内连续，则　　2 .
10．曲线在点处的切线斜率是 ．
11．函数的驻点是　　 　 　.
12．需求量q对价格的函数为，则需求弹性为 ．
三、计算题
1．已知，求 ．
解：
2．已知，求 ．
解
3．已知，求 ．
解
4．已知，求
解：
5．已知，求；
解：因为
因此
6．设，求
解：因为 因此
7．设，求．
解：因为
因此
8．设，求．
解：因为
因此
四、应用题
1． 设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,
解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
，
因此， ，

（2）令 ，得（舍去）
因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，因此当20时，平均成本最小.
求：（1）当初的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量为多少时，平均成本最小？
2．某厂生产一批产品，其固定成本为元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）．
试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
解（1）成本函数= 60+．
因为 ，即，
因此 收入函数==()=．
（2）因为利润函数=- =-(60+) = 40--
且=(40--=40- 0.2
令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点．
因此，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．
3．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件）.
试求：（1）产量为多少时可使利润达成最大？ （2）最大利润是多少？
解（1）由已知
利润函数
则，令，解出唯一驻点.
因为利润函数存在着最大值，因此当产量为250件时可使利润达成最大，
（2）最大利润为 （元）
4．某厂天天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，天天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
解 因为

令，即0，得=140，= -140（舍去）.
=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
因此=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，天天产量应为140件. 此时的平均成本为
（元/件）
5．已知某厂生产件产品的成本为（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？
解 因为 ==
==
令=0，即，得，=-50（舍去），
=50是在其定义域内的唯一驻点．
因此，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品

第二部分 积分学
一、单项选择题
1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x
2．下列等式不成立的是（ A ）．
A． B． C． D．
3．若，则=（ D ）.
　　A. 　 B. 　C. 　　 D.
4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）．
A． B． C． D．
5. 若，则f (x) =（ C ）．
A． B．- C． D．-
6. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B )．
A． B．
C． D．
7．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．
A． B． C． D．
8．下列定积分计算正确的是（ D ）．
A． B． C． D．
9．下列无穷积分中收敛的是（ C ）．
A． B． C． D．
10．无穷限积分 =（ C ）．
A．0 B． C． D.
二、填空题
1． ．
2．函数的原函数是 -cos2x + c (c 是任意常数) ．
3．若存在且连续，则 ．
4．若，则　　　　　　.
5．若，则= .
6．　　0　　　.
7．积分 0 ．
8．无穷积分是 收敛的 ．（判别其敛散性）
9．设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为：2 +
三、计算题
1．解 ==
2．计算 解
3．计算 解
4．计算 解
5．计算
解 ==
6．计算 解 =
7．
解 ===
8． 解：=- ==
9．
解 =
=＝=1
四、应用题
1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.
解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
== 100（万元）
又 = =
令 ， 解得.
x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达成最小的值. 因此产量为6百台时可使平均成本达成最小.
2．已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解 因为边际利润
=12-0.02x –2 = 10-0.02x
令= 0，得x = 500
x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 因此，当产量为500件时，利润最大.
当产量由500件增加至550件时，利润变化量为
=500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x
令(x)=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
解：因为总成本函数为
=
当= 0时，C(0) = 18，得 c =18
即 C()=
又平均成本函数为

令 ， 解得= 3 (百台)
该题确实存在使平均成本最低的产量. 因此当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
(万元/百台)
5．设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 – 2x
令，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润变化量为
=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.

第三部分 线性代数
一、单项选择题
1．设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）能够进行.
A．AB B．ABT C．A+B D．BAT
2．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B）
A. B. 　　C. D.
3．如下结论或等式正确的是（ C ）．
A．若均为零矩阵，则有 B．若，且，则
C．对角矩阵是对称矩阵 D．若，则
4．设是可逆矩阵，且，则（　C ）.
　　A. 　　 　B. 　　 C. 　　D.
5．设，，是单位矩阵，则＝（ D ）．
A． B． C． D．
6．设，则r(A) =（ C ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．线性方程组 解的情况是（ A　）．
　　A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解
9．若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（ B ）时线性方程组无解．
A．0 B． C．1 D．2
10. 设线性方程组有无穷多解的充足必要条件是（ D ）．
A． B． C． D．
11．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ）．
A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解
12．设线性方程组有唯一解，则对应的齐次方程组（ C ）．
A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定
二、填空题
1．若矩阵A = ，B = ，则ATB= ．
2．设矩阵，I为单位矩阵，则＝ ．
3．设均为阶矩阵，则等式成立的充足必要条件是是可互换矩阵
4．设，当　　0　 　 时，是对称矩阵.
5．设均为阶矩阵，且可逆，则矩阵的解X= ．
6．设为阶可逆矩阵，则(A)= ．
7．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b 无解 ．
8．若线性方程组有非零解，则 -1 ．
9．设齐次线性方程组，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于n – r
10. 已知齐次线性方程组中为矩阵，且该方程组有非0解，则　　　3　　．
11．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量) .
12．设线性方程组，且，则时，方程组有唯一解.
三、计算题
1．设矩阵A =，求逆矩阵．
解 因为(A I ) =
因此 A-1=
2．设矩阵A =，求逆矩阵．
解因为 且 因此
3．设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1．
解 因为BA==
(BA I )=
因此 (BA)-1=
4．设矩阵，求解矩阵方程．
解：因为
即
因此，X ===
5．设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.
解 因为

因此 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) ¹ r()，因此方程组无解
6．求线性方程组的一般解．
解 因为系数矩阵

因此一般解为 （其中，是自由未知量）
7．求线性方程组的一般解．
解 因为增广矩阵

因此一般解为 （其中是自由未知量）
8．设齐次线性方程组
问l取何值时方程组有非零解，并求一般解.
解 因为系数矩阵
A =
因此当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为
（其中是自由未知量）
9．当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.
解 因为增广矩阵

因此当=0时，线性方程组有无穷多解，
且一般解为： 是自由未知量〕