第3篇1-1.doc

第三篇 第1章 第一讲

一、选择题
1．(文)直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于 (　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C．－1 D．2或－1
[答案]　D
[解析]　由题意知＝≠，解得a＝2或－1.
(理)(08·全国Ⅱ)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1
[答案]　A
[解析]　y′＝2ax，在(1，a)处切线的斜率为k＝2a，
因为与直线2x－y－6＝0平行，所以2a＝2，解得a＝1.
2．已知直线l1、l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图象如图所示，则有(　　)
A．ac<0 B．ad
[答案]　C
[解析]　由图可知，a、c均不为零．直线l1的斜率、在y轴上的截距分别为：－、－；直线l2的斜率、在y轴上的截距分别为：－、－，由图可知－<0，－>0，－<0，－<0，－>－，于是得a>0，b<0，c>0，d>0，a>c，所以只有bd<0正确．

3．如果点(5，a)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则整数a的值为
(　　)
A．5　　　B．－5　　　C．4　　　D．－4
[答案]　C

[解析]　由题意知(30－8a＋1)(15－4a＋5)<0，
∴ B.
C．－1或1 D．－或
[答案]　C
[解析]　∵椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)、F2(0,3)，∴b＝1或－1.
(理)过抛物线y2＝4x的焦点，且与圆x2＋y2－2y＝0相切的直线方程是 (　　)
A.x＋y－3＝0，y＝0
B.－y－3＝0，y＝0
C.＋y＋3＝0，x－y＋3＝0
D.x＋3y－3＝0，x－3y－3＝0
[答案]　A
[解析]　抛物线焦点F(，0)，圆的方程x2＋(y－1)2＝1，由图知过焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是y＝0故排除C、D.另一条斜率小于0，故选A.
6．(文)设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0　(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)
A．[0，π) B.
C. D.∪
[答案]　C
[解析]　当cosθ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；当cosθ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.
∵cosθ∈[－1,1]且cosθ≠0，
∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，
∴α∈∪.
综上知倾斜角的范围是，故选C.
(理)已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则的取值范围是 (　　)
A.
B．[－，]
C.∪
D．(－∞，－]∪[，＋∞)

[答案]　A
[解析]　表示圆上点(x，y)与点(－2,0)所在直线的斜率．
设过点(－2,0)与单位圆相切的直线方程y＝k(x＋2)与x2＋y2＝1联立，解得k＝±，所以k∈.

7．(文)设直线l1、l2的倾斜角分别为θ1、θ2，斜率分别为k1、k2，且θ1＋θ2＝90°，则k1＋k2的最小值为 (　　)
A．2　　　B．－2 　 　C.　　　D．不存在
[答案]　A
[解析]　k1＋k2＝tanθ1＋tanθ2＝tanθ1＋tan(90°－θ1)＝tanθ1＋cotθ1≥2，当且仅当θ1＝45°时取等号．
(理)(08·全国Ⅰ)若直线＋＝1通过点M(cosα，sinα)，则 (　　)
A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1
C.＋≤1 D.＋≥1
[答案]　D
[解析]　坐标原点O(0,0)到＋＝1的距离
≤|OM|＝1，∴＋≥1.故选D.
8．(文)已知向量a＝(6,2)，b＝(0，－1)，直线l过点P(－2，1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般方程是 (　　)
A．x－y＋2＝0 B．y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．x＋y＋2＝0
[答案]　C
[解析]　a＋2b＝(6,0)，由数形结合可得l：x＋2＝0.
[点评]　点P的坐标不适合A、B、D故选C.
(理)过点(－2,2)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为 (　　)
A．k＝－2或k＝－1
B．k＝－2或k＝－
C．k＝－
D．k＝－3或k＝－
[答案]　B
[解析]　设直线方程为y－2＝k(x＋2)，与x轴、y轴分别交于A，B(0,2k＋2)，则
·|2k＋2|＝1，∴k＝－2或－.
9．(文)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0垂直，则m的值为(　　)
A．0　　　B．－8　　　C．2　　　D．10
[答案]　C
[解析]　由已知得：＝－，解得m＝2.
(理)已知两直线l1：mx＋y－2＝0和l2：(m＋2)x－3y＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为 (　　)
A．1或－3 B．－1或3
C．2或 D．－2或
[答案]　A
[解析]　∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，∴两条直线垂直，
∴·(－m)＝－1，∴m＝1或m＝－3.
10．(文)过P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距均为正数，且截距之和最小，则其方程为
(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C．－x＋＝1 D.＋＝1
[答案]　D
[解析]　设直线方程＋＝1，过点P(1,4)，
∴＋＝1，∴a＝　(b>4)，
∴a＋b＝＋b＝b－4＋＋5≥9，
当且仅当b＝6、a＝3时取等号．
(理)(08·北京)过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为 (　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
[答案]　C
[解析]　过圆心C(5,1)作y＝x的垂线，垂足为P.

过P作⊙C的切线l1、l2，则l1与l2关于直线PC对称．
∵直线PC与直线y＝x垂直，
∴l1与l2关于直线y＝x对称，
∵点C到直线y＝x的距离为2，
又∵⊙C的半径，∴∠APC＝30°，

∴l1与l2的夹角为60°.
二、填空题
11．(文)过点P(－3,4)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．
[答案]　y＝－x或x＋y－1＝0
[解析]　若直线过原点，则方程为y＝－x.
若直线不过原点，则设方程为＋＝1，
∵点P(－3,4)在直线上，∴a＝1，
因此直线方程为x＋y－1＝0.
(理)已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________．
[答案]　4
[解析]　解法1：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)．
由已知得k<0.∴点A，点B(0,1－2k)．
三角形面积S△OAB＝(1－2k)
＝2＋≥2＋×2＝4，
当且仅当－＝－4k，即k＝－时，取等号．
故△OAB面积的最小值为4.
解法2：设直线l的方程为＋＝1，由已知得a>0，b>0.∵l过点P(2,1)，∴＋＝1，
而＋≥2，∴ab≥4，
三角形面积S△OAB＝ab≥4.
当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号．
∴△OAB面积的最小值为4.
12．(09·全国Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°
其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号)
[答案]　①⑤
[解析]　求得两平行线间的距离为，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.
13．(文)△ABC中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lg sinA，lg sinB，lg sinC成等差数列，则下列两条直线l1：(sin2A)x＋(sinA)y－a＝0，l2：(sin2B)x＋(sinC)y－c＝0的位置关系是________．
[答案]　重合
[解析]　由已知2lg sinB＝lg sinA＋lg sinC，
得lg(sinB)2＝lg(sinA·sinC)，∴sin2B＝sinA·sinC.
设l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0.
∵＝＝＝，＝，
＝＝＝，∴＝＝，
∴l1与l2重合．
(理)对于坐标平面内的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，定义运算“*”为P1]　　　.
[答案]　
[解析]　由题易知N点的坐标为(x－y，x＋y)，kOM＝，kON＝.
取x＝2，y＝4，则kOM＝2，kON＝－3，取向量a＝(1,2)，b＝(1，－3)，其夹角为θ，则cosθ＝＝－，
∴θ＝.∴∠MON＝.
14．(文)过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
[答案]　2x－y＋4＝0
[解析]　y′＝6x－4，∴y′|x＝1＝2，
∴所求直线y－2＝2(x＋1)．即：2x－y＋4＝0.
(理)已知实数x、y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为________．
[答案]　
[解析]　的最小值可以看成直线2x＋y＋5＝0上的点与原点连线所得线段长度的最小值，即为原点到直线的距离d＝＝.
三、解答题
15．(文)△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
[解析]　由，得顶点A(－1,0)，
∴kAB＝1，∵x轴是∠A的平分线，
∴kAC＝－1，∴AC：y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，∴BC：y－2＝－2(x－1)，∴C(5，－6)．
(理)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
[解析]　当k不存在时B(3,0)，C(3,6)．
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，
∴直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)
令y＝0得B(3＋，0)
由得C点横坐标xc＝
若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|
∴|－－3|＝2||
∴－－3＝或－－3＝－
解得k＝－或k＝
∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
16．(文)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解析]　解方程组，得P(0,2)．
∵直线l3的斜率为，∴直线l的斜率为－，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－0)，
即4x＋3y－6＝0.
[点评]　可设经过交点P的直线方程为(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋(4－2λ)＝0，
此直线与直线3x－4y＋5＝0垂直，
∴3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴所求直线方程为4x＋3y－6＝0.
(理)已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)，C(2,5)，求顶点B和D的坐标．
[解析]　方法1：由已知易得AC中点M的坐标为(1,2)，且kAC＝3，kBD＝－，BD所在的直线方程为x＋3y－7＝0，设直线AB的斜率为k.由已知可知与的夹角等于45°，
cos45°＝，解得，k＝或－2.
∴AB的方程为x－2y－2＝0.AD的方程为2x＋y＋1＝0.
解方程组得，
点B的坐标为(4,1)再利用中点坐标公式求得点D的坐标为(－2,3)．
方法2：由已知得M(1,2)．
设B点坐标为(x，y)，则D点坐标为(2－x,4－y)．
∵⊥，
∴·＝0.
由已知有＝(2,6)，＝2－2x,4－2y)，
∴有x＋3y－7＝0.①
又||＝2，∴||＝2.
∴＝2.②
解①②组成的方程组，即可求得B、D两点坐标．
[点评]　对直线问题从不同的角度去分析、思考，就会获得不同的解决办法，方法2是用向量知识求解平面几何问题，复习中不能忽视．
17．(文)一条直线l过点P(2,1)，并且分别满足下列条件，求直线方程．
(1)直线l的方向向量为a＝(－3，)；
(2)直线l过点P和点Q(m,2)；
(3)直线l在两坐标轴上的截距相等；
(4)倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的两倍；
(5)夹在两坐标轴之间的线段被点P分成12.
[解析]　(1)利用方向向量a与直线的斜率之间的关系进行求解，k＝－，所求直线方程为y－1＝－(x－2)．
(2)当m＝2时，直线l与x轴垂直，斜率不存在，其直线方程为x＝2；当m≠2时，直线斜率为k＝＝，方程为y－1＝(x－2)．
(3)当直线的截距为0时，直线过坐标原点，其方程为x－2y＝0；当截距不为0时，设其方程为x＋y＝a，又过点P(2,1)，求得a＝3，此时所求方程为x＋y＝3.
(4)设直线x－4y＋3＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝，故tan2θ＝＝，即直线l的斜率为，
方程为y－1＝(x－2)．
(5)由题意，设直线交x轴于点A，交y轴于点B.当＝时，求得A(3,0)，B(0,3)，所求直线方程为x＋y＝3；当＝时，求得A(6,0)，B，所求直线方程为
x＋4y－6＝0.
(理)已知点P(2，－1)，求：
(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；
(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)过P点的直线l与原点的距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得，＝2，解得k＝，这时直线l的方程为3x－4y－10＝0.
综上所述，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)∵P点在直线l上，∴原点到直线l的距离d≤|OP|，∴过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k1·kOP＝－1.∴k1＝－＝2，得直线l的方程为2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为＝.
(3)由(2)知，过P点的直线与原点O最大距离为，故过P点不存在到原点距离为6的直线．