课时作业与单元检测《简单的三角恒等变换》.doc

§3.2　简单的三角恒等变换
课时目标　1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．

1．半角公式
(1)S：sin ＝____________________；
(2)C：cos ＝____________________________；
(3)T：tan ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．
2．辅助角公式
使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝_______sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．

一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2．函数y＝sin＋sin的最大值是(　　)
A．2 B．1 C. D.
3．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为(　　)
A．－2 B．－ C．－ D．－1
4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A. B. C. D.
5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B. C．2 D．－2
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是__．
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．
10.

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

12．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．
能力提升
13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是(　　)
A. B．－ C. D．4
14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)．
3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等．
§3.2　简单的三角恒等变换
知识梳理
1．(1)± 　(2)± 　(3)± 　　
2.　　点(a，b)
作业设计
1．C
2．B　[y＝2sin xcos ＝sin x．]
3．D　[f(x)＝sin，x∈.
∵－≤x－≤，
∴f(x)min＝sin＝－1.]
4．D　[f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.]
5．D　[f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，
令k＝0得增区间为.]
6．A　[∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－.
∴＝＝＝·＝＝＝－.]
7．π
解析　f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin(2x＋)－，∴T＝＝π.
8.
解析　设α为该等腰三角形的一底角，
则cos α＝，顶角为180°－2α.
∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2·＝.
9．3
解析　设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，
底角大小为(180°－α)．
∴tan＝tan＝＝＝＝3.
10.
解析　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈.
∴cos θ－sin θ＝.
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.
∴cos θ＋sin θ＝.
∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
11．解　(1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12．解　m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，
|m＋n|＝
＝＝
＝2.
由已知|m＋n|＝，得cos＝.
又cos＝2cos2－1，
所以cos2＝.
∵π<θ<2π，
∴<＋<.
∴cos<0.
∴cos＝－.
13．B　[y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x)
＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．
∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)
∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，
∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－.
∴tan x＝－.]
14．解　3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝sin(x＋20°＋φ)＝7sin
其中cos φ＝，sin φ＝.所以f(x)max＝7.