1、对称问题
一、基础知识
1、 点关于点的对称
点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)
事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
2、点关于直线的对称点
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：
设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x’,y’)，则
3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。
（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲
2、线的方程是f(2a-x,2b-y)=0
（2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：
设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x0,y0)=0，利用方程组，解得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，从而得对称曲线方程。
4、常用的对称关系
点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)
关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-
3、x+m的对称点(m-b,m-a).
二、题型剖析
[对称问题]
例1．（1）直线关于定点
对称的直线方程是（ ）
。 。
。 。
解：设点关于的对称点为，则，。
∴ 即：，故选B。
【思维点拨】掌握点关于点对称的求法。
（2）(优化设计P107例1)若以直线 为对称轴，求直线的轴对称图形的方程。
解法一：（利用对称关系）设是所求对称直线上一点，关于直线的对称点为 ，解得又∵在上，
∴，即的方程是。
解法二：（利用到角公式）可把看作到的角平分线。设的斜率分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，
4、由得 得。又与的交点为，所以的方程是：
【思维点拨】由平面几何知识可知，若直线、关于直线对称，则应有下列几何性质：
（1）若与相交，则是、交角的平分线；若与平行，则∥，且、与距离相等。
（2） 点直线上，则点关于的对称一定在直线上，并且的中点在上。
（3）设是所求直线上一点，则为关于的对称点的坐标适合的方程。
练习：变式1：直线l: ax+by+c=0关于原点对称的直线方程为ax+by-c=0
变式2、已知直线l1: x+my+5=0和直线l2: x+ny+P=0，则l1 、l2关于y轴对称的充要条件是( C )
A、 B、p=-5 C、m=-
5、n且p= -5 D、且p=-5
例2：(优化设计P107例2)光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。
解：A（-3，4）关于x轴的对称点（-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，∴=
∴所求直线方程为 ，即
练习：变式3：一条光线经过P(2,3)点，射在直线：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1)
（1） 求入射光线所在的直线方程
（2） 求这条光线从P到Q的长度。
解：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点，易证
6、
入射光线所在直线方程，即5x-4y+2=0
（2）是的垂直平分线，因而即为所求
【思维点拨】：由物理中光学知识，入射光线和反射光线关于法线对称转化为对称问题。
P
M1
Q
O
M
M2
例3(优化设计P108例3)已知点M（3，5），在直线：和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。
解：可求得点M关于的对称点为（5，1），
点M关于y轴的对称点为（-3，5），则
的周长就是，连，
则直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。
直线的方程为，直线
与y轴的交点坐标为，由方程组
得交点，∴点、即为所求。
【评述】：注意平面几何的知识在解析几何中的灵
7、活运用。
练习：变式4、直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P1，使最小，在y=x上求一点P2，使最大，求出两最值及值。
解：A(3,0),B(0,2),点B关于的对称点
直线即x轴交于(0,0)即P1点
又B关于y=x的对称点
,当且仅当、、A共线（又在y=x上）
即P2为直线B’’A（即x轴）与y=x的交点(0,0)时，最大为1，故P1，P2重合。
=0
【思维点拨】：利用三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一点到两定点距离之和最小或到两定点距离之差为最大的问题。
备用题：
例4．已知椭圆方程为，试确定实数的取值范围，使得椭圆上有
8、不同的两点关于直线对称。
解法一：设、是椭圆上关于直线对称的相异的两点，中点为。则有
由点差法得，所以，点坐标为。
而是中点，∴点在椭圆内部。
∴。解得。
解法二：该 问题等价于存在直线，使得这直线与椭圆有两个不同的交点、，线段的中点落在直线上。
由消去得
∵直线与椭圆有两个不同交点。
∴ ①
由韦达定理得：，。
故中点为 又在直线上
∴，∴ ②
由①②知
三、小结
1.对称问题分为点对称及轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决。特别是关于原点对称、坐标轴对称，直线对称都要熟练掌握。
2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。
3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法
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