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《函数、不等式、数列、导数》测试题

湖南 高明生

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．成等比数列的三个数的乘积为64，并且这三个数分别减去1，2，5后又成等差数列，则这三个数为（ ）
A 2，4，8 B 8，4，2 C2，4，8或8，4，2 D－2，－4，－8或－8，－4，－2
2.已知集合A={x∈R |x-2>3},B={x∈R|≤1},试判断集合A、B之间的关系（ ）
（A） （B） （C）AB （D）BA
3．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，则＝ ( )
A． B． C． D．1
5． 函数是减函数的区间为 ( )
A． B． C． D．（0，2）
6．设等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn、Sn‘,且，则=（ ）.
A B C D
7．函数f(x)=其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P}，f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断：
①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=； ②若P∩M≠，则f(P)∩f(M) ≠；
③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R； ④若P∪M≠R，则f(P) ∪f(M)≠R.
其中正确判断有( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 4个
8．在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
9在数列{an}中,,则Sn>110(1+)中最小的n值(Sn是数列{an}前n项的和)为（ ）.
A3 B4 C 5 D6
10．下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是　　　　　　　　　　　　　（　）

Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．　
11． 设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝ ( )
A．sinx　 B．－sinx　 C．cosx D．－cosx
12．已知函数的图象如右图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )

13．（备用题）下列四组函数中，表示同一函数的是（　）
A． B．
C． D．
14．（备用题）已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)= 　　　　( )
A． -2 B． 1 C． 0.5 D． 2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题４分，共16分，把答案填在答题线上部　对应题号的横线上.
15．函数y=是 函数（填奇偶性）,且在其定义域上是 函数（填单调性）。
16．已知函数是定义在上的减函数，并且满足，，则的值为 ，如果，则x的取值范围为 ；
17．已知一个等差数列{ a n }，S n为其前项的和，又知 S 10=110,S 20=420。
则数列的通项公式 a n= ，S 30= 。
18．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .
三．解答题：本大题共６小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
Ⅰ
Ⅱ
A
B
C
19.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠C=90°，AC=BC=,一个边长为2的正方形由位置1沿AB平行移动到位置‖，若移动的距离为x，正方形和△ABC的公共部分的面积为f(x),试求出f(x)的解析式并求出最大值，单调区间；

20．(本小题满分12分)设数列{an}的首项a1=a≠，且,
记，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求
21．.(本小题满分12分)已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程.
22 .(本小题满分12分) 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：
，
，其中a为常数，k为非零常数.
（Ⅰ）令，证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）当时，求.
23 .(本小题满分12分)已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式；
（II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
24．.(本小题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池（平面图如图所示），池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚度忽略不计）。
（Ⅰ）污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；
（Ⅱ）如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低。

《函数、不等式、数列、导数》测试题
（参考答案）
一．选择题：
1．答案：C；
解：设所求的三个数为, a ，aq ，则由题可知：·a·aq=a 3=64 Þ a=4,
于是由－1，2，4q－5成等差数列 Þ(－1)+(4q－5)=4 Þ 2q 2－5q+2=0 Þ q=2或q=, 代入得所求三个数为2，4，8或8，4，2。
2．答案：C；
解：(2)由|x-2|>3得 x-2>3或x-2<-3
即x>5或x<-1
∴A={xR|x<-1或x>5}
由 得
即 x>0或x-1
∴B={xR|x-1或x>0}
故A,B之间的关系为AB
3.答案：D；
解：一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是,即； 而的一个充分不必要条件是。
4. 答案：B；
解：把两个解析式联立得方程x2-x＋1=0,由=0即得＝
5. 答案：D；
解：由<0，得02},f(M)={1}则f(P)∩f(M) =故②错
若P={非负实数},M={负实数}则f(P)={ 非负实数},f(M)={ 正实数} 则f(P) ∪f(M)≠R.
故③错
若P={非负实数},M={正实数}则f(P)={ 非负实数},f(M)={ 负实数} 则f(P) ∪f(M)=R.
故④错
8.答案：D；
解：切线的斜率为
又切线的倾斜角小于，即
故
解得：
故没有坐标为整数的点
9．答案：C；
解：由得，
于是—同一个常数，
所以{an}是首项为，公比为的等比数列，
由，
所以=，
而是增函数,所以n>4，
故满足题意的最小的n值为5。
10. 答案：Ｄ ；
解：根据反函数的定义，存在反函数的函数x、y是一一对应的。

11.答案：C；
解：f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)= -sinx，
f3(x)＝f2′(x)= -cosx， f4(x) ＝ f3′(x)=sinx，循环了
则f2005(x)＝f1(x)＝cosx
12.答案：C；
解：由函数的图象可知：
当时， <0，>0，此时增
当时，>0，<0，此时减
当时，<0，<0，此时减
当时，>0，>0，此时增
13.答案：D；
解：∵=|x -1|∴A错
∵的定义域是x1, 的定义域是x>1 ∴B错
∵的定义域是x>0 ,的定义域是x0 ∴C错
14.答案：A；
解：因为函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),所以 即 又

二．填空题：
15．答案：奇函数；增函数；
解：.由题意得xR
f(-x)====- =-f(x)
所以f(x)是R上的奇函数；
因为y===，
当x(-∞,+∞)时,2x是增数,是增函数，
所以y=在定义域上是增函数。
16．答案：；x的取值范围；
解：由，令x=y=1得，
从而有；由函数满足，，得
再由函数是定义在上的减函数，得
所以x的取值范围
17. 答案：a n=2n； 930 ；
解：（1）设该数列的首项为a 1，公差为d,则有
解得 a 1=2，d=2 所以 a n=2n
（2） 由上可知 =…=930
18.答案： 3，-17；
解：由=0，得，
当时，>0，当时，<0，当时，>0，故的极小值、极大值分别为，
而
故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。
三．解答题：
19.解：(1)由题意得f(x)=
(2)对于当0时,
当时,

当时,
故当x=3时,f(x)max=f(3)=3
(3)单调递增区间为;单调递减区间为
20．解（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；
（II）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,
所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),
猜想：{bn}是公比为的等比数列·
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·
（III）
21．解：（Ⅰ）解：，依题意，，即
解得.
∴.
令，得.
若，则，
故在上是增函数在上是增函数.
若，则，故在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
22．解：（Ⅰ）证明：由，可得
.由数学归纳法可证
.
由题设条件，当时
因此，数列是一个公比为k的等比数列.
（Ⅱ）解：由（1）知，
当时，
当时， .
而
所以，当时, .上式对也成立. 所以，数列的通项公式为. 当时
。上式对也成立，所以，数列的通项公式为 ，
（Ⅲ）解：当时 .
23． 解(I)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得
又
所以
即的取值范围为
24.解：（Ⅰ）解：设污水处理池的长为x米，则宽为米。
总造价。

=36000（元）
当且仅当时，即x=15等号成立。
答：当污水处理池的长为15米（宽为米）时，总造价最低。
（Ⅱ）解：依（Ⅰ）有总造价，当且 当x=15等号成立，，从而考虑条件：

即，在上的单调性。
设，且。
由于
。
∵，且，
∴。
∴。
∴。
∴在上单调递减。
∴。
∴当长为米时总造价最低。