初中数学论文：从“动点问题”谈中考专题复习教学.doc

初中数学论文
抛“砖”方能引“玉”
——从“动点问题”谈中考专题复习教学

【摘要】中考数学专题复习，是从某一重要的数学知识、技能或数学方法展开，通过对某些典型的数学问题的剖析，纵向深入，使得学生学习系统、完善、深化。然而在现实的推进中，由于专题复习内容综合性强，能力要求高，学生对此类问题倍感困惑，课堂实效并不理想。笔者有幸参加了温岭市教研室组织的初三复习研讨会，与会老师《动点问题》中考专题复习课给我留下了深刻印象。笔者尝试从这节课的教学设计和课堂应变入手分析，尝试探索中考数学专题复习教学的精髓所在。
【关键词】中考专题 复习教学 动点问题

笔者有幸参加了市教研室组织的初三复习研讨会，聆听了与会老师上的“动点问题”中考专题复习课。应该说，动点问题以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点、多种解题方法、数学思想于一身，综合性强，能力要求高，学生对此类问题更是倍感困惑，课堂实效不理想。然而，在实际的教学中，上课教师精心的教学设计和灵活的课堂应变，使得原本枯燥乏味的复习课生机盎然：炒“冷饭”变成了色香味俱全的“蛋炒饭”。原来中考专题复习课可以这样上，我恍然大悟。
一、布“点”为基，做好铺垫——工于开头课生辉
片段回顾1：
课堂伊始，教师开门见山：点、线、图形的运动，构成了数学学习的新问题——动点问题，这是近几年中考的热点,大家把握好这类问题，中考就成功了大半，你们想知道这类题目该怎么去解决吗？（学生点头）
教师出示引例：
已知如图，△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的
速度从点A出发沿线段AB向点B运动，设点P的运动时间为（s），
当t= ____ 时，△PBC是直角三角形？
一位学生快速得出正确答案。教师马上追问：你是怎么想到的。
学生：使△PBC是直角三角形时点P应运动到AB中点。由这个情况画图就可得出答案。
教师：哦，可以由动点运动的特殊位置“化动为静”，然后画出图形就可解答。（教师演示图形）
教师接着出示问题（2）：若另一动点 Q 从点 B 出发，沿BC向
点 C 运动，如果动点 P、Q 都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时
间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形?
学生1上台画出图形并向学生讲解：当∠BQP为直角时△PBC是
直角三角形。可以求出t=1。（教师提醒，可以了吗？）
学生2上台有不同的见解：也可以是∠BPQ为直角，求出t=2，答案有两个。
教师鼓掌：这两位同学的表现真好，分析直角在不同位置这一图形特征，得到不同的静态图形就可以帮助解答。原来动点问题也不难啊！（学生点头）
教师继续：做了这个问题，大家有什么要说的吗？
学生3：动点问题要“化动为静”。
学生4：不但要看图形运动的特点，更要看运动的全过程，不同情况要分类讨论。
教师归纳：对的，动点问题要从“静”字上做文章。“动”中求“静”，“静”中解“动”，而且必须要从图形特征入手，对运动的过程进行全面分析，分类解决。
教师板书： “化动为静”
图形背景
“全面审题 分类画出图形”
运动全过程
我的思考：
俗话说：良好的开端是成功的一半。教师一开始就点明本节课内容和重要性，能迅速激发了学生自我实现的期望；同时这节课一开始问题（1）的起点就很低，使得学生心里想：“这，我也会”。全体学生都对问题解决有了信心，在最短的时间里在心理上产生渴望、兴奋的“愤”“悱”状态，有了积极的学习热情。在后续问题（2）的解答中，教师更是有意识的让学生当活动的主角：学生上台给同学解答，学生间补充，学生对问题反思归纳。这极大的调动了学生学习的主动性，课堂的气氛也在不知觉中变得活跃。所以中考专题复习课教学要从一开始就设法改变原有的沉重感，适当创设轻松的情境，能激起学生“争强好胜”“积极参与”的情绪氛围，引导学生全身心的投入。
再则，中考专题复习是学生学习系统、完善、深化的关键时期，学习的内容是中考一轮复习基础上的适当拔高，但这并不意味着在问题的设计上都要“难”字为先。特别是引例更要起到抛“砖”引“玉”的作用：在问题的设计上我们一要把握好“度”，既要使学生处于“跳一跳能摘到桃子”的状态；二是使得引例要给学生搭脚手架，为后续学习做好铺垫，给学生以模仿的“影子”。正如美国著名数学教育家伯利亚说：“一个专心的认真的教师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一个门户，把学生引入一个完整的知识领域。”
所以“麻雀虽小，五脏俱全”，执教者在一开始就要找准学生学习的兴趣点，知识的切入点，通过简约而不简单的引例布“点”为基，做好铺垫。而且教师在学生自主学习的过程中给以恰到时机的点拨和归纳，就会让学生在初步获取有效的解题经验和方法基础上，不断辐射，发展，覆盖。
二、联点成“线”，理顺串活——巧拨妙引门自开
片段回顾2：
教师出示例题：如图，在□ OABC 中，点A 在x 轴上，∠AOC=60°，0C=4cm，OA=8cm，动P从点O出发，以1cm ／s 的速度沿线段OA→AB 运动；动点Q同时从点O出发，以acm ／s 的速度沿线段OC →CB 运动，其中一点先到达终点B 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒。
(1) 填空：点C 的坐标是(______ ，______) ，
对角线OB 的长度是_______cm ；
(2) 当a=1 时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 的
函数关系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大?
在问题（1）的处理上，教师还是叫学生讲解，并归纳出
点坐标和线段求解的基本方法。
问题（2）中，教师给学生以思考的时间，让学生先画图。在一个学生上台画出图形后教师马上追问：你画的图形完整了吗？ P、Q两点运动位置如何，哪里是临界位置？
这时学生基本能放开发表自己的意见，教师引导学生讨论补充，由动点特殊位置分类画出不同的静态图形并得出相应t的范围。

教师继续把主动权交还给学生，让他们根据图形解答。
学生1：要用字母标图。
学生2：类似第一小题方法求高，就可求出面积表达式。
解到第三种情况时大部分学生卡壳了，教师马上提问：我们以前对不规则图形的面积是如何求解呢？你能找到方法吗？
学生3：用平行四边形面积减三个小三角形面积。
但大部分学生还是感觉计算有困难。教师继续问：能有不同的方法吗？
学生4;延长PQ与X轴交与点F，用大三角形面积减小三角形的面积。
教师马上赞赏了这位同学的方法，叫其他学生验证。（这种方法简便，课堂气氛更活跃）
学生意犹未尽时教师马上抛出问题(3)：当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式.
马上有学生上去尝试，由“两角对应相等的两三角形相似”，在黑板上画出了两个图形。
教师引导学生注意解题的技巧，师生合作完成了解答过程。
完成后，教师马上要求学生整理例题解答的过程，谈谈
自己积累了哪些解题经验？有什么样的收获。
怎么分
1、分类画图 临界点 图形特征
分几类
2、画好图形后，结合图形用初始变量表示图中其它变量，
再综合运用数学知识建立方程，函数等模型解决动点问题。
我的思考：
古人云：“授人以鱼，不如授人以渔”，学生学会数学学习、数学思考的方法，这才是终身受用的。但这不是一蹴而就的事情，需要教师课堂教学的合理安排。
首先，在例题的选择和设计上要求我们要紧扣教学目标，具有典型性、针对性、层次性、思考性、挑战性。因为只有这样我们的课堂才能有深入，才能更加有效地使不同层次的学生都有收获和发展。
其次，我们要给学生充分自主探究的时间和空间，要让每个学生在自己已有的知识经验、能力水平、学习方法上尝试从不同的角度去解决问题，使得每个学生在独立思考的基础上都有自己对问题独特的深刻认识。正如苏霍姆林斯基说：“在人的心理深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中这种需要特别强烈。”只有把学生看作学习的中心，才能让学生真正成为学习的主人。
再则，数学具有严密的系统性与逻辑性，学生前面学过的知识是后面知识的基础，而后面的知识又是前面已经学过知识的引申、发展和提高，两者的关联沟通很重要。为此，教师要积极做好引导，“导”得巧，“导”得准，为学生搭设思维跳板，帮助其开拓思路，活跃思维，使数学专题复习教学过程不仅洋溢着火热的数学思考，更散发着厚重的数学规律，展现着丰富的数学思想方法，使学生的数学能力在探索中形成与提高，数学思维向纵深发展。
而且，我们的数学教学既要“结果”，更要“过程”，教师要重视通过学生解法的展示与评价，让学生总结各种方法的优劣，并对数学知识与方法的运用既“知其然”又“知其所以然”，学会合理地选择，快速地、有效地学习。
这样，学生真正参与自主学习，成为课堂的主人；真正驾驭学习，聪明才智得以充分发挥；教师的引导不再是苦口婆心的说教，而是智慧的“巧”拨“妙”引学生在动态的情境中推进理解，在认知冲突的碰撞后内化，思维的大门便在疑惑中开启，并不断向更深处推进。数学课堂也就涌动生命的灵性。
三、线动成“面”，融会贯通——做足体验品位高
片段回顾3：
学生讨论积累的解题经验和方法后，教师让学生做课堂练习：
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线
l1:y=x与直线l2：y=―x+6相交于点M，直线l2
与x轴相较于点N.
（1）求M，N的坐标
（2）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在
x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位
长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。写出S与自变量t之间的函数关系式。
对于这个练习，问题（2）的运动变成了面的运动，这和前面点的运动完全不同，学生有很大的难度。（不知道重叠部分到底是什么图形）
教师马上提议：大家能否动手操作看看？
学生拿出纸片进行操作，在学生有了初步认识后，教师用动画做了直观演示，然后让学生观察讨论画出各种情况。

在这些图形确定后，教师问学生:如何确定每一情况的自变量取值范围？
在师生合作探究中，学生明确了要根据不同的图形特征找到临界状态，从而确定如何分类及此时自变量的取值范围。（与会老师也有同感，原来取值范围是这样确定的）
教师在学生完成后再次让学生反思：通过这个练习你有什么收获？
通过解后反思，学生在解题策略，方法和关键点上再次明确了这节课学习的目标所在。
策略：化“动”为“静”
图形背景
方法：“全面审题 分类画出图形”
运动全过程
怎么分
关键： 临界点 图形特征
分几类
我的思考：
杨辉曾说：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题。”与课教师在练习的选择上充分考虑到这一点，从点动、线动到面动，学生的学习更具延伸性，认知结构不断螺旋上升。在专题复习课堂巩固这一环节，教师必须选配好练习，要有很强的针对性，能帮助学生明晰概念，理解和掌握方法；而且尽可能多地提供一种“阶梯”式的问题串，使每一个学生都能在活动中获得成功的体验，也有面临挑战的机会和经历，从而锻炼其克服困难的意志，建立学好数学的自信心。同时练习的问题更要具备创造性和启发性，使学生对所学的知识能够深化，进一步提高分析问题解决问题的能力。
其次，“活动是认识的基础，智慧从动作开始”。教师一方面要利用多媒体信息技术能动会变、形象直观的特点开展“数学实验”，激起学生的各种感官的参与，在认真观察、主动思考中培养学生的发散思维和直觉思维。同时教师积极鼓励学生加强动手操作和实践，积累活动经验。在这种形象化的学习中，学生们不会觉得枯燥，始终兴趣盎然地认真观察、主动思考，并逐一解决，从而实现了对知识意义的主动建构。
再则，数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思，我们要引导学生反思所运用的解题策略，探索新的解题思路，培养学生思维的灵活性、深刻性和创造性。我们还要提醒学生举一反三、触类旁通，理顺认知脉络，从而达到知识条理化、系统化。
教师设计有效的课堂练习，促使学生自主参与整理，让学生从整体上把握知识的内在规律，自觉的将自己知识重组提升，通过衍射，使之纵横联系，融会贯通为一个系统。这样“解一题，带一片”，既帮助学生摆脱“题海”之苦，又促进了学生知识能力的高效正迁移，真正达到了“透过树木见到森林”的境界。
经历布“点”为基，做好铺垫→联点成“线”，理顺串活→线动成“面”，融会贯通。我们将那些有内在联系的知识进行比较、沟通或思辨，将点串成线，用线构成面，用面组合成体，最终形成立体的知识结构，这样一步一个脚印，每一步都是扎实有效，一环套一环，也就真正构建立体丰盈的中考专题复习课。

参考文献：
[1]陆敏.复习课的点线面体[J].小学教学设计·数学，2011,(7). 中考专题
[2]肖川.义务教育数学课程标准解读[M].湖北教育出版社，2011.
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