热力学统计物理--课后习题--答案.doc

第七章 玻耳兹曼统计
7．1试根据公式证明，对于非相对论粒子
，（ ）有
上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为
（ ）-------（1）
为书写简便，我们将上式简记为-----------------------（2）
其中V=L3是系统的体积，常量，并以单一指标l代表nx,ny,nz三个量子数。
由（2）式可得---------------------（3）
代入压强公式，有----------------------（4）
式中 是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动内能。
7．2根据公式证明，对于极端相对论粒子
， 有
上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为
， -------（1）
为书写简便，我们将上式简记为-----------------------（2）
其中V=L3是系统的体积，常量，并以单一指标l代表nx,ny,nz三个量子数。
由（2）式可得---------------------（3）
代入压强公式，有----------------------（4）
式中 是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
7．4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为，
式中PS是粒子处在量子态S的概率， ， 对粒子的所有量子态求和。
证明：根据式（6-6-9），处在能量为的量子态S上的平均粒子数为---------(1)
以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态S上的概率为---------(2)
显然，PS满足归一化条件---------(3)
式中是对粒子所有可能的量子态求和。粒子的平均能量可以表示为4)
根据式（7-1-13），定域系统的熵为

====è----------------(5)
最后一步用了（2）式，即----------------(6)
（5）式的熵表达式是具有启发性的。熵是广延量，具有相加性。（5）式意味着一个粒子的熵等于 。它取决于粒子处在各个可能状态的概率PS。如果粒子肯定处在某个状态r，即=ds r，粒子的熵等于零；反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的。如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。
7．5固体含有A、B两种原子．试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为

其中N是总原子数，x是A原子的百分比，(1一x)是B原子的百分比．注意x<1．上式给出的熵为正值．
证明：A、B两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx个A种原子在N个格点随即分布的状态数：

所以混合熵
当N很大时，利用公式

证毕
7．8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为。
证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布相应的气体的微观状态数为-----1)
其对数为---------(2)
在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：
; ; ---------(3)
其中PZ是气体在Z方向的总动量，PLZ是处在能级l的分子所具有的Z方向动量。
气体分子的最概然分布是在限制条件（3）下，使lnW为极大的分布。令各有al的变化d al， lnW将因而有变化
限制条件（3）要求 ; ;
用拉氏乘子 a1，b 和g乘这三个式子并从d lnW中减去，得

根据拉氏乘子法原理，每个d al的系数都等于零，所以有
或---------(4)
可以将式（4）改写成为动量的连续分布：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内的分子数为-------（5）
或 -------（6）
其中
-------（7）
式中的参量a1，b 和P0由（3）式确定。由（3）式中的 得
-------（8）
代入（6）式消去 ，可将气体分子的动量分布表达为
-------（9）
利用（9）式求PZ的平均值，得

所以P0是PZ的平均值。P0与PZ的关系为PZ=NP0
在气体具有恒定的整体速度的情形下，气体的平衡状态不受破坏，其物态方程仍由PV=NKT描述。根据此容易证明 b=1/KT
7．9气体以恒定速度v0沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。
解：根据上题，以恒定速度v0沿Z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为
---------(1)
分子平均动量的平均值为

上式头两项积分后分别等于1/2KT，第三项的积分等于

因此，
（2）式表明，气体分子的平均能量等于无规热运动的平均能量3/2KT及整体运动能量1/2mvo2之和。
7．11试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度0ZX和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值．
解：先求速度分布：
两分子的相对速度在dvrxdvrydvrz内的几率

其中与v1x有关的分量为

同理可求得v1y、v1z分量分别为和

引入，则速度分布为：

把变数换为vr,θ,φ,并对θ,φ积分，则得到速率分布为

相对速率的平均值

7．14分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。
解：上题已经求得了单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在到范围的分子数为

如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。因此在射出的分子束中，分子的平均速率为
速率平方的平均值为
即速率的方均根值为
平均动能为
上述结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均值。原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使（1）式含有因子v3，而平衡态分子速率分布（7-3-9）含因子v2的缘故。
7．15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为

其中a、b是常数，求粒子的平均能量．
解：该能量表达式可改写为

由能量均分定理可知：

7．16气柱的高度为H，截面为S，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为

证明：为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体。在重力场中分子的能量为
----------------------（1）
粒子的配分函数为
----------2）
其中 是气柱的截面积。
气柱的内能为
-----（3）
式中
气体的热容量为----（4）
上述结果显然也适用于双（多）原子分子气体，只要将 U0和C0V理解为无外场时气体的内能和热容量。
当 时，（4）式右方后两项相互消去而有CV=C0V----------（5）
这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（Z=H）与底部（Z=0）的重力势能差远小于热运动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的。
当 时，（4）式右方第三项趋于零，因此CV=C0V+NK----------（6）
这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部（Z=H）与底部（Z=0）的重力势能差远大于热运动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量NK。
对于300K的空气，相应于 的H约为104m。因此在通常情形下，（5）式是适用的。实际上大气温度随高度而降低。当气柱很高时，应用玻尔兹曼分布时所作的恒温假设并不成立。
7．17试求双原子分子理想气体的振动熵．
解：双原子分子理想气体的振动配分函数

引入 ，得

7．21试求爱因斯坦固体的熵。
解：根据式（7-7-2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为

7．22以n表晶体中磁性原予的密度．设原了的总角动量量子数为1．在外磁场下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场．假设磁矩之间的相互作用可以忽略．试求在温度为T时晶体的磁化强度μ及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值．
解：依题意，原子具有三个状态，能量分别为-μB、0、μB。按玻尔兹曼分布，原子处于这些态的几率分别为 其中C为归一化常数，由下式决定：

晶体的磁化强度

弱场高温极限下：βμB→1
此时

强场低温极限下：βμB→∞