中考相似三角形.docx

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1.理解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.相似三角形
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重 点
难 点

课 前
检 查
作业完毕状况：优□ 良□ 中□ 差□ 提议：
教学过程及内容
相似三角形
【知识网络】

【知识点梳理】
一、比例线段
1. 比例线段的有关概念
在四条线段a，b，m，n中，假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
概念解读：①成比例线段是有次序的，若a，b，c，d是成比例线段，则a：b=c：d，其中线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
②假如b=c，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
③在判断成比例线段时，长度单位必须相似。
例1.（秋•朝阳区校级月考）下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a=2，b=3，c＝3，d=2
【分析】假如其中两条线段的乘积等于此外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；B、1×4＝2×2，故选项对的；
C、4×10≠5×6，故选项错误；D、3×3≠2×2，故选项错误．故选：B．
【点评】此题考察了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，此外两个相乘，看它们的积与否相等．同步注意单位要统一．
【变式1-1】（•成都模拟）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【解答】解：由于a，b，c，d是成比例线段，可得：d=2×63=4cm，故选：A．
【点评】此题考察了成比例线段的定义．此题比较简朴，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
【变式1-2】（•龙岗区校级模拟）若a是2，4，6的第四比例项，则a＝　 　；若x是4和16的比例中项，则x＝　 　．
【分析】根据第四比例项的概念，得2：4＝6：a，则a可求；
根据比例中项的概念，得x2＝4×16，则x可求．
【解答】解：∵a是2，4，6的第四比例项，∴2：4＝6：a，∴a＝12；∵x是4和16的比例中项，
∴x2＝4×16，解得x＝±8．故答案为：12；±8．
【点评】考察了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念对的写出比例式．
【变式1-3】（秋•皇姑区期末）已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为　 　．
【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，假如其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【解答】解：∵四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，∴a：3＝（a+1）：4即3（a+1）＝4a
解得a＝3．故答案为3．【点评】本题考察了比例线段，处理本题的关键是掌握比例线段的定义．

二、黄金分割
【措施点拨】黄金分割：把线段AB提成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
例2.（•福建模拟）在线段AB上，点C把线段AB提成两条线段AC和BC，假如ACAB=BCAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．若点P是线段MN的黄金分割点，当MN＝1时，PM的长是　 　．
【分析】分PM＞PN和PM＜PN两种状况，根据黄金比值计算．
【解答】解：当PM＞PN时，PM=5−12MN=5−12，当PM＜PN时，PM＝MN−5−12MN=3−52，
故答案为：5−12或3−52．【点评】本题考察的是黄金分割，掌握黄金比值是5−12是解题的关键．
【变式2-1】（秋•静安区期中）假如点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不也许是5−12的为（　　）
A．ACBC B．BCAC C．BCAB D．ABBC
【分析】根据把一条线段提成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（5−12）叫做黄金比作出判断．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），则ACAB=BCAC=5−12；
或BC2＝AB•AC（AC＜BC），则ACBC=BCAB=5−12．故只有ABBC的值不也许是5−12．故选：D．
【点评】此题重要考察了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是处理问题的关键．
【变式2-2】（春•相城区期末）如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表达AE为边长的正方形面积，S2表达以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表达正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（　　）
A．5−12 B．5+12 C．3−52 D．3+52
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB提成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5−12AB，进行计算即可．
【解答】解：如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF=5−12，∴BE＝FH＝AB﹣AE=3−52，
∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（5−12×3−52）：（1×3−52）
=5−12．故选：A．
【点评】本题考察了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，处理本题的关键是掌握黄金分割定义．
【变式2-3】（•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5−12，后人把5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）
A．10﹣45 B．35−5 C．5−252 D．20﹣85
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH=5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=5−12BC＝25−2，则计算出HE＝25−4，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∴BH＝CH=12BC＝2，
在Rt△ABH中，AH=32−22=5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE=5−12BC＝2（5−1）＝25−2，∴HE＝BE﹣BH＝25−2﹣2＝25−4，
∴DE＝2HE＝45−8∴S△ADE=12×（45−8）×5=10﹣45．故选：A．

【点评】本题考察了黄金分割：把线段AB提成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考察了等腰三角形的性质．
三、 成比例线段、比例的基本性质
（1） ①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c.（a,b,c,d,都不为0）；
（2） 合比性质：；
（3） 等比性质：
例3.已知非零实数a,b,c,满足求c的值。

【变式3-1】（•徐汇区一模）已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代数式3a−b+c2a+3b−c的值； （2）假如3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．
【分析】（1）根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后裔入比例式进行计算即可得解；
（2）先设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后将其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．
【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0）， 则3a−b+c2a+3b−c=6k−3k+5k4k+9k−5k=1；
（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．则a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．
【点评】本题考察了比例的性质，运用“设k法”求解更简便．
【变式3-2】（秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．
【分析】令第一种等式等于k，表达出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．
【解答】解：设a+43=b+32=c+84=k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．
【点评】此题考察了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，纯熟掌握性质及定理是解本题的关键．
【变式3-3】（秋•碑林区校级月考）已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k值．
【分析】根据等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，分两种状况讨论，即可得到k的值．
【解答】解：∵2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，∴由等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，
当a+b+c+d≠0时，k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k=2ab+c+d=2a−a=−2；
综上所述，k的值为23或﹣2．【点评】本题重要考察了比例的性质的运用，处理问题的关键是掌握比例的性质．
【变式3-4】（秋•雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【分析】已知等式运用比例的性质化简表达出a+b，ac，b+c，代入原式计算即可得到成果．
【解答】解：当a+b+c≠0时，
运用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，整顿得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，则原式＝﹣1．综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或﹣1．【点评】此题考察了比例的性质，分式的化简求值，纯熟掌握运算法则是解本题的关键．
四、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

比例式仍成立，由于图形中有关的对应线段均没变化。
例4.如图，已知DE//BC,EF//AB,现得到下列结论：
其中对的比例式的个数有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

【变式4-1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC，AEEC=52，DE=10，则BC的长为(    )
A. 16
B. 14
C. 12
D. 11
【答案】B【解析】解：∵AEEC=52，∴AEAC=57，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=DEBC，∴57=10BC，∴BC=14，
故选：B．根据已知条件得到AEAC=57，根据相似三角形的性质即可得到结论．【分析】本题重要考察了相似三角形的鉴定与性质的运用，在鉴定两个三角形相似时，应注意运用图形中已经有的公共角、公共边等隐含条件，以充足发挥基本图形的作用．
五、相似三角形的基本图形
【措施点拨】相似三角形的鉴定措施汇总：
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、鉴定定理1：假如一种三角形的两个角与另一种三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、鉴定定理2：假如一种三角形的两条边与另一种三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、鉴定定理3：假如一种三角形的三条边与另一种三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似
例5.（秋•瑞安市期末）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格构成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一种阴影部分的三角形与已知△ABC相似（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，运用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AC=12+22=5，AB=12+12=2，BC＝1，
∴BC：AB：AC＝1：2：5，
A、三边之比为1：2：5，选项A符合题意；
B、三边之比2：5：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：5：17，选项C不符合题意；
D、三边之比为5：5：4，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考察了相似三角形的鉴定，纯熟掌握相似三角形的鉴定措施是解本题的关键．
【变式5-1】（秋•顺义区期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（　　）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【解答】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵ABBC=ADDE=FHAF=22，∴ABAD=BCDE，ABFH=BCAF，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故选：A．
【点评】本题考察相似三角形的鉴定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识处理问题．
（1）基础模型梳理--“A”字型
【措施点拨】基础模型：

A字型（平行） 反A字型（不平行） 斜A共边共角（1） 斜A共边共角（2）

例6.如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE//BC.若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的面积之比为(    )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9
【答案】D【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=(11+2)2=19．故选：D．
【分析】由DE//BC可得出△ADE∽△ABC，运用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．本题考察了相似三角形的鉴定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式6-1】（•东明县模拟）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．
（1）求CE的长．
（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ=PEQC，你认为小明的结论对的吗？请阐明你的理由．
【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，因此ADAD+BD=AEAE+EC，代入数据即可求出CE的长度．（2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，因此△ADP∽△ABQ，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BDAEAE+EC，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）结论对的，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=APAQ，
同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ
【点评】本题考察相似三角形，解题的关键是纯熟运用相似三角形的性质与鉴定，本题属于中等题型．
【变式6-2】（•东莞市一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若ADAC=37，求AFFG的值．
【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB运用相似三角形的鉴定即可证出△ADE∽△ACB；根据相似三角形的性质再得出∠ADF＝∠C，即可证出△ADF∽△ACG；
（2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，又∵ADAC=DFCG，
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，∵ADAC=37，∴AFAG=37，∴AFFG=34．
【点评】本题考察相似三角形的性质和鉴定，记住相似三角形的鉴定措施是处理问题的关键，属于基础题．
【变式6-3】（•越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．假如BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　）
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13
【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得ACBC=CDBD=64=32，由此即可处理问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴ACBC=CDBD=64=32 ∴BCAC=23，故选：B．
【点评】本题考察相似三角形的鉴定和性质，解题的关键是对的寻找相似三角形处理问题，属于中考常考题型
(2)相似基本模型（X字型）
基础模型：

X字型（平行） 蝴蝶型（不平行） 燕尾型
图1：
图2：
图3：
例7.如图，AB//CD，AOOD=23，则△AOB的周长与△DOC的周长比是(    )
A. 25
B. 32
C. 49
D. 23
【答案】D【解析】解：∵AB//CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，
，故选D．
【分析】由平行可证明△AOB∽△DOC，再结合条件运用相似三角形的性质可求得答案．
本题重要考察相似三角形的鉴定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

【变式7-1】（秋•滨江区期末）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，
BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．
【分析】（1）证明△OAB∽△ODC，可得出结论；
（2）证得AB∥CD，可得AEDF=OEOF，BECF=OEOF，则结论得证．
【解答】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．∴OBOC=AODO，∵∠AOB＝∠COD，
∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．
（2）∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，∴AEDF=BECF．∵AE＝BE，∴CF＝DF．
【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质，平行线分线段成比例定理．纯熟掌握定理内容是解题的关键．
【变式7-2】（秋•花都区期末）如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；
（2）证明：AF2＝FG·FE．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，∴CGAB=ECEB，即CG3=22+4，
解得，CG＝1；
（2）证明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴FGFA=DFFB，∴AD∥CB，∴△AFD∽△EFB，∴AFFE=DFFB，
∴FGFA=AFFE，即AF2＝FG×FE．
【点评】本题考察的是平行四边形的性质，相似三角形的鉴定和性质，掌握相似三角形的鉴定定理和性质定理是解题的关键．
【变式7-3】（秋•朔城区期末）如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值.
【分析】证明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG∥BD，可得△AEG∽△CED，则结论得出．
【解答】解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴AGBD=AFBF=12，∵BCCD=2，
∴CD=13BD，∴AGCD=32，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴GEED=AGCD=32．
【点评】本题考察相似三角形的鉴定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识．

【变式7-4】（秋•黄浦区期中）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．
（1）求证：△ABD∽△EBC；
（2）求证：AD2＝BD•DE．
【分析】（1）根据相似三角形的鉴定证明△ABD∽△EBC即可；
（2）由相似三角形的鉴定证明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再运用相似三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，∵BA•BC＝BD•BE．即ABBC=BDBE，∴△ABD∽△EBC；
（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，
∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝BD•DE．
【点评】此题考察相似三角形的鉴定和性质，关键是根据相似三角形的鉴定措施解答．
（3） 相似基本模型（AX型）
【措施点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
例8. （•丛台区校级三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，
CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出ADAB=AEAC，结合∠DAE＝∠BAC可证出△ADE∽△ABC；
（2）由△ADE∽△ABC，运用相似三角形的性质可得出DEBC=13及∠ADE＝∠ABC，运用“同位角相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再运用相似三角形的性质可求出FC的长．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB=AEAC=13，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，
∴DFCF=DECB，即2CF=13，∴FC＝6．
【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质以及平行线的鉴定，解题的关键是：（1）运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE∽△ABC；（2）运用相似三角形的性质及平行线的鉴定定理，找出DE∥BC．
【变式8-1】（•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．假如CEBE=23，求FEEG的值．
【分析】由平行四边形的性质可得出AD∥BC，AD＝BC，由AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，运用相似三角形的性质结合CEBE=23可得出AE=83EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，运用相似三角形的性质可得出GE=25GA=23AE，代入AE=83EF即可得出FEEG=916．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，
∴EFAF=BEDA．又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=35AF，∴AE=3+53EF=83EF．
∵CE∥AD，△CEG∽DAG∴GEGA=CEDA=22+3，∴GE=25GA，∴GE=25−2AE=23×83EF=169EF，∴FEEG=916．
【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质以及平行四边形的性质，运用相似三角形的性质，找出AE=83EF及GE=23AE是解题的关键．
【变式8-2】（秋•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）求证：△AFG∽△CMG；
（2）求证：GFGM=EFEM．
【分析】（1）可得出∠FAG＝∠MCG，又∠AGF＝∠CGM，则结论得证；
（2）由（1）可得出GFGMAFCM，证明△AEF∽△BEM，可得出AFBM=EFEM，由BM＝CM，则结论得出．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠MCG，∵∠AGF＝∠CGM，∴△AFG∽△CMG；
（2）证明：∵△AFG∽△CMG，∴GFGM=AFCM∵AD∥BC，∴△AEF∽△BEM，∴AFBM=EFEM
又∵CM＝BM，∴AFCM=EFEM，∴GFGM=EFEM．
【点评】本题考察平行四边形的性质，相似三角形的鉴定和性质等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识，属于中考常考题型．

【变式8-3】（•黄浦区一模）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12BFCF=12．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．
【分析】（1）只要证明BEED=BFFC=12，即可推出EF∥CD处理问题；
（2）设△ABE的面积为m．运用相似三角形的性质，等高模型求出△BCE，△ECD的面积即可处理问题；
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴ABCD=BEED=12，∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF∥CD，∴AB∥EF．
（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，
∴S△CDE＝4m，∵AECE=ABCD=12，∴S△BEC＝2m∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．
【点评】本题考察平行线的鉴定和性质，相似三角形的鉴定和性质，等高模型等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识，学会运用参数处理问题，属于中考常考题型．
(4) 相似基本模型（一线三等角型）
①同侧型

②异侧型

例9.（•肥东县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE=52，∠AED＝∠B，则CE的长为（　　）
A．152 B．223 C．365 D．649
【分析】证明△BAE∽△CED，推出BACE=BECD可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，
∴∠DEC＝∠BAE，∴△BAE∽△CED，∴BACE=BECD，∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE=52，∴6CE=523，
∴CE=365，故选：C．
【点评】本题考察相似三角形的鉴定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是对的寻找相似三角形处理问题，属于中考常考题型．
【变式9-1】（秋•资阳区期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；ABPC=BPCD，∵BP＝2，CD＝1，
∴ABAB−2=21，∴AB＝4，∴△ABC的边长为4．故选：B．
【点评】本题考察了相似三角形的性质和鉴定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，重要考察了学生的推理能力和计算能力．
【变式9-2】（秋•杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，假如△DEF与△DBE相似，求FC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，由三角形的内角和和平角的定义得到∠DEF＝∠B，根据相似三角形的鉴定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到结论；
（3）当∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根据平行线的性质得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根据等腰三角形的性质得到CF＝2；当∠DFE＝∠BED，推出点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，得到AE是∠BAC的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；
（2）∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，∵F是线段AC中点，∴CF=12AC＝3，∴25−BE=BE3，∴BE＝2或3；
（3）∵△DEF与△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，当∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，∵AC＝6，∴CF＝2；当∠DFE＝∠BED，
∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，∴点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，∴EM＝EG＝EN，
∴AE是∠BAC的角平分线，∴BE＝CE=52，∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，即252=52CF，∴CF=258．
综上所述，FC的长为2或258．
【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质，等腰三角形的性质，平行线的鉴定和性质，角平分线的性质，对的的作出辅助线是解题的关键．
【变式9-3】（•嘉定区二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重叠），点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；
（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：DE2DF2=BECF．

【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出BECD=BDCF=DEDF，得出BECD⋅BDCF=(DEDF)2，由BD＝CD，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接AD，如图1所示：在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵点D是边BC的中点，∴AD=12BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠CAD，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，∠B=∠CADBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2） ∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．
又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．∴BECD=BDCF=DEDF，∴BECD⋅BDCF=(DEDF)2，
又∵BD＝CD，∴DE2DF2=BECF．
【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质、全等三角形的鉴定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；纯熟掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
六．相似三角形的应用
例10.身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为(    )
A. 185cm B. 180cm C. 170cm D. 160cm
【答案】B【解析】解：∵小冰的身高小冰的影长=小雪的身高小雪的影长，∴小雪的身高=小冰的身高小冰的影长×小雪的影长=16555×60=180(cm)．
故选：B．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，通过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【分析】此题重要考察了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立合适的数学模型来处理问题．
【变式10-1】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(    )
A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处
【答案】B【解析】本题考察了相似三角形的知识，解题的关键是运用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后运用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、25、42；
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为5，“车”②之间的距离为22，
∵525=2242=12，∴马应当落在②的位置，故选：B．
【变式102】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一种与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为(    )
A. 8.5米 B. 9米 C. 9.5米 D. 10米
【答案】A【解析】解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴ACEF=CGGE，∴AC1.6=153，
∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.