第二章 分解因式复习题.doc

第二章　分解因式精选复习题
一、分解因式的概念
（一）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（和差化积）
易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式；2、分解后的因式（等式的右边）是整式；3、结果是积的形式；4、结果的因式必须分解彻底。
（二）例：
1、下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（　　）
A、　　　 　 B、
C、　 D、
2、已知，求的值。
3、已知，求的值。
4、求证能被24整除。

（三）练习
1、对于m2+2m+2，当m=_______时，它有最小值为___________．
2、对于-m2+2m+2，当m=_______时，它有最大值为___________．

二、提公因式法分解因式
（一）公因式：①系数取最大公约数；②相同字母取最低次幂。
（二）提取公因式的方法：每项都从左到右寻找，先考虑系数（取最大公约数，第一项若是负数则需提取负号，提取负号后各项要变号）、再到字母（把每项都有的相同字母提取出来，以最低次幂为准）。
（三）练习：
1、已知a＋b＝13，ab＝40，求的值。
2、已知，求代数式的值。
3、利用因式分解说明能被7整除。
4、分解因式＝　　　　　　。
5、问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 。
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数)。

三、运用公式分解因式
（一）（1）平方差公式：
特点：左边：①有二项；②符号相反；③两项均为完全平方项。
右边：左边平方项底数的和与差的积。
（2）完全平方公式：
特点：左边：①有三项；②有两项分别是两个数的完全平方，且符号相同；③有一项是平方项底数的积的2倍。右边：是左边平方项底数的和或差的平方。
例、①
②
(三)拓展练习：
① 　　　　　　　　　 ②

③ 　 ④

⑤ 　 ⑥

(四)应用提高：
1、已知△ABC的三边a、b、c满足，那么△ABC是 三角形。
2、求方程的整数解。
3、已知，且均为正整数，求代数式的值。
4、若a＋b＝1，　ab＝2，则　　　　。
5、已知，求①，②的值。
6、已知，求的值。
7、请观察下列等式：
　　　　　　　……
根据前面各式的规律，请猜想111…1－22…2的值是多少？并说明你猜想的正确性。

8、在日常生活中，如取款、上网等都需要密码。有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，分解因式的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： 。（写出一个即可）
9、计算：
⑴ ⑵

⑶ ⑷

10、已知，都是自然数，且满足方程，求的值。

11、若是完全平方式，则m的值等于（　　）
A、　－5　　　B、　3　　　C、　7　　　　D、　7或－1
12、已知，求的值。
13、①已知，求a＋b的值。
②已知，求a＋b的值。
14、若a＋b＝1，　ab＝2，则　　　　　　。
15、已知a、b、c是△ABC的三边的长，并且有成立，则△ABC是（　　）
A、　等边三角形　　　　B、　等腰三角形　　　C、　直角三角形　　D、　锐角三角形
16、若的值为0，则的值为（　　）
A、　－11　　　　B、　11　　　　C、　7　　　D、　－7
17、计算：　　　　　　。
18、若是一个完全平方式，则m，n的关系是　　　　　　。
19、若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则代数式的值（　　　）
A、一定是正数　　　B、　一定为负数　　　C、　可能为正数，也可能为负数　　D、可能为0
提高部分：
（二）其他方法：因式分解的四种常用方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。
1、因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相乘法④最后考虑分组分解法。
2、三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式；四项或四项以上的式子通常用分组分解法。
3、因式分解一定要彻底，分解到各个因式都不能再分解为止。
4、因式分解最终结果一定要进行整理：如果有同类项，应当合并；如果在相同因式，如：
（x+y）（x+y）（x－y）应当写成（x+y）2（x－y）；如果有中括号应当去掉中括号……总之应当满足最简原则！
（1）十字相乘法：不能直接用完全完全平方公式分解的，形如x2+（p+q）x+pq的二次三项式，可以考虑十字相乘法。
例1、分解因式：x2+xy－12y2
例2、分解因式：x2－x－
例3、分解因式：（x2－4x）2－2（x2－4x）－15

（2）分组分解法：
分组分解法是综合性较强的一种方法，也是不易掌握的一种方法。它有以下几种情形：
ⅰ、分组后直接提公因式，再进一步提取公因式
例1 ：把a2–ab+ac-bc因式分解

ⅱ、分组后直接运用公式法，此种方法又可分为三类
1、分组后直接运用公式法，再进一步提取公因式
例2.：把a2-b2+a-b因式分解

2、分组后直接运用公式法，再进一步运用公式法
例3：把a2-2ab+b2-c2因式分解

3、分组后直接运用公式法，再进一步用十字相乘法
例4：把a2-2ab+b2 –a+b-2 因式分解
解：原式＝(a-b+1)(a-b-2)

ⅲ、分组后直接运用十字相乘法，此种方法又可分为二类
1、分组后直接运用十字相乘法，再进一步提取公因式
例5：把a2-2ab-3b2+2a-6b因式分解
解：原式＝a-3b)(a+b+2)

2、分组后直接运用十字相乘法，再进一步运用十字相乘法（双十字法）
例6： 把a2-ab-2b2+a+4b-2因式分解
解：原式＝(a+b)(a-2b)+2a-a+2b+2b-2
=(a+b)(a-2b)+2(a+b)-(a-2b)-2
=[(a+b)-1][ (a-2b)-2]
=(a+b-1)(a-2b-2)
（3）换元法：例：分解因式n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1
（4）添项、拆项法：①②③
练习
1、填空题
⑴已知求的值。
⑵
⑶ 分解因式：
⑷ 若，则，
⑸ 若，，则
⑹ 当时，
⑺ 将分解因式，得
⑻已知为非负整数，且，则___________
⑼已知：a=2999，b=2995，求的值。
2、选择题
⑴ 用分组分解法把分解因式，不正确的分组方法有（ ）个。
① ② ③ ④
A、1 B、2 C、3 D、4
⑵ 分解因式，等于（ ）
A、 B、 C、 D、
⑶ 若是二次三项式的因式，那么k的值是（ ）
A、8 B、- 8 C、2 D、- 2
（4） 无论x、y为任何实数，多项式的值总是（ ）
A、正数 B、负数 C、0 D、不能确定
3、分解因式
(1) (x2－5x)(x2－5x－2)－24　　　(2) x3＋x2y－xy2－y3；　　　(3) 2x3-13x2+25x-14

4、已知，求a,b,c的值。

5、已知x、y都是正整数，且，求x、y

6、已知：，求的值。