1、单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节 二阶常系数齐次线性微分方程,这是一类有专门的求解方法微分方程,定义,形如,y,py,qy,f,(,x,)的方程称为二阶常系数线性微分方程,其中,p,q,是常数,f,(,x,)称为自由项.,特别地,当,f,(,x,)=0时,y,py,qy,0,称为二阶常系数线性齐次微分方程,否则称为线性非齐次,微分方程.,证毕,是方程,的两个解,也是该方程,证:,代入方程左边,得,定理.(,叠加原理,),的解.,定理,表明,二阶,线性齐次微分方程任何两个解,y,1,(,x,),y,2,(,x,)的线性组合,那么,是不是方
2、程的通解呢？,仍是方程的解.,例.,对于二阶常系数,线性齐次微分方程,容易验证:,也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数,C,显然它不是所给方程的通解.,由定理知,都是它的解.,问题:方程的两个特解,y,1,(,x,),y,2,(,x,)满足什么条件时,的通解？,由例7-12的分析可知,如果方程的两个特解,y,1,(,x,),y,2,(,x,)之间不是常数倍的关系,那么它们线性组合得到的解,就必定是方程的通解.,才是方程,定义,设,y,1,(,x,)与,y,2,(,x,)是定义在某区间内的两个函数,如果存在不为零的常数,k,(或存在不全为零的常数,k,1,k,2,),使得对于该区间内的一切,
3、x,有,成立,则称函数,y,1,(,x,)与,y,2,(,x,)在该区间内,线性相关,否则称,y,1,(,x,)与,y,2,(,x,),线性无关,.,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,定理.,(二阶齐次线性方程通解的结构),是二阶线性齐次方程的两个,线性无关的特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,将,y,e,rx,代入方程,y,py,qy,0得,(,r,2,pr,q,),e,rx,0,分析,考虑到当,y,y,y,为同类函数时,有可能使,y,py,qy,恒等于零,而函数,e,rx,具有这种性质,所以猜想,e,rx,是方程的解,二阶齐次线性方程通解的
4、求法,由此可见,只要,r,满足代数方程,r,2,pr,q,0,函数,y,e,rx,就是微分方程的解,r,2,pr,q,0叫做微分方程,y,py,qy,0的特征方程.,特征方程的求根公式为,(1)当,时,方程有两个相异实根,则微分方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,设,r,1,r,2,是特征方程的两个根.,(2)当,时,特征方程有两相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解为,(,u,(,x,),待定).,是特征方程的重根,取,u=x,得,因此原方程的通解为,得:,代入原微分方程,(3)当,时,方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程线性无关特解:,因此
5、原方程的通解为,实根,特 征 根,通 解,(1)写出微分方程的特征方程,r,2,+,pr,+,q,=0,(2)求出特征方程的两个根,r,1,r,2,求,y,+,py,+,qy,=0的通解的步骤:,(3)根据特征方程根的不同情况,写出微分方,程的通解.,因此微分方程的通解为,y,C,1,e,x,C,2,e,3,x,例1,求微分方程,y,2,y,3,y,0的通解,解:,微分方程的特征方程为,r,2,2,r,3,0,特征方程有两个不等的实根,r,1,1,r,2,3,即(,r,1)(,r,3),0,例2,求解初值问题,解:特征方程,特征根为,因此原方程的通解为,由初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3,求微分方程,解：,所给方程的特征方程为,其根为,故所求通解为,的通解.,习题6-5(p358),全部做于书上,1(5),2(5)交作业.,
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