专题四猜想与证明.doc

专题四　猜想与证明

1．猜想与证明问题怀化中考近7年共考查4次，都是以解答题的形式出现．
2．考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形；(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，与图形的折叠、平移有关．

预计2016年怀化中考仍会重点考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题．
,中考重难点突破)

　与图形旋转有关的问题
【经典导例】
【例1】(2010河北中考)在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.

(1)如图①，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
(2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD；
(3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③，求的值．
【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．
(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．

1．(2015重庆中考)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；
(2)如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝AB；
(3)如图3，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝(BE－CF)．

2．(2015龙东中考)已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.
(1)当直线m经过B点时，如图①，易证EM＝________CF(不需证明)；
(2)当直线m不经过B点，旋转到如图②、图③的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

　与图形相似、位似有关的问题
【经典导例】
【例2】(2014河北中考)如图①，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．
(1)AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________；
(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图②和图③.
①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD.
②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示)．

【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45°，所以∠AED＝90°，故AE⊥ED.(2)由△HGF≌△DHC可证GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴当CH＝k时可得CH＝FG＝k，从而证明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD，GH⊥HD.
【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用斜边的中线等于斜边的一半或30°角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换．
(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线判定的定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．

已知直线MN与线段AB交于点O，点C在直线MN上，且∠ACN＝135°，以点O为位似中心，作△BOD与△AOC位似．
(1)如图①，若△BOD与△AOC的位似比为1∶3，写出AC与BD的数量关系和位置关系；
(2)在图②中，若△BOD与△AOC的位似比为1∶1，∠BEM＝45°，写出AC与BE的数量关系和位置关系，并证明；
(3)在图③中，若△BOD与△AOC的位似比为k∶1，∠BEM＝45°，求BE∶AC的值．

　与图形折叠、平移有关的问题
【经典导例】
【例3】(2014河北中考)图①和图②中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB＝2.点P为优弧AB上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′
(1)点O到弦AB的距离是________，当BP经过点O时，∠ABA′＝________；
(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；
(3)若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．

【解析】(1)作垂线OC，即为O到AB的距离．根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解．(2)由(1)得OC长度以及半径OB长度，即可求出∠OBC的正弦值，从而求得∠OBC.再利用∠ABP与∠OBC的关系求出∠OBP的角度，根据直角三角形的边角关系计算即可．(3)在折叠过程中，BP有4个特殊位置，点A′落在以B为圆心、BA为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA′与圆心O的位置可确定α的范围．
【学生解答】

【方法指导】解本题第(3)问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第(1)、(2)问情况的综合．在分类讨论α的最大取值时，很难想象出优弧AB完全折叠过去时的情况，即P点即将与B点重合时α的数值，可以先在图中画出点P、B重合时的情况，重合时α为一个临界点，找到此临界点，再使α小于此临界点即可解决．

(2015天津中考)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(，0)，点B(0，1)，点O(0，0)．过边OA上的动点M(点M不与点O，A重合)作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点为A′.设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.

(1)如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
(2)如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
(3)当S＝时，求点M的坐标(直接写出结果即可)．

　与尺规作图有关的问题
【经典导例】
【例4】(2014河北中考)如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG.

(1)求证：①DE＝DG；②DE⊥DG；
(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
(4)当＝时，请直接写出的值．
【解析】(1)由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；(2)根据正方形的性质分别以点G、E为圆心，以DG为半径画弧交于点F，得到正方形DEFG；(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；(4)设CE＝x，由已知＝，表示出CB及CD，利用勾股定理求出DE2，进而得到，即为所求．
【学生解答】

【方法指导】在判定四边形为平行四边形时，(1)若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；(4)若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分．在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明．

1．(2015丽水中考)如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

2．(2015济宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实践与操作：
根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)作∠DAC的平分线AM；
(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E；
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明．

3．(2015太原中考)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
(1)尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法．请标明字母．
(2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC＝3，∠A＝30°，求的长．

拓展类型一　与点的位置变化有关的问题
1．(2014牡丹江中考)如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN＝60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F.

(1)当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF＋BE＝CD；(提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M.)
(2)当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②，当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③.请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；
(3)在(2)条件下，若∠ADC＝30°，S△ABC＝4，则BE＝________，CD＝________．

拓展类型二　与图形变化有关的问题
2．(2015怀化模拟)探究并证明以下问题：
(1)如图①，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB＝60°，点P为线段BO上任意一点，以AP为边作等边三角形APF，连接BF，求证：BF＝OP；
(2)如图②，在正方形ABCD，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连接BF，直接写出BF与CP的数量关系________；
(3)如图③，在菱形ABCD中，AB∶AC＝m∶n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC＝∠AFP，连接BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．

3．(2014河南中考)
(1)问题发现
如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.
填空：
①∠AEB的度数为________；
②线段AD、BE之间的数量关系为________．
(2)拓展探究
如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
(3)解决问题
如图③，在正方形ABCD中，CD＝.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．