1、 平行直线（一）
扬中市第二高级中学 杨青松
教学目标：
了解空间两直线的三种位置关系；掌握公理4的意义及空间四边形的概念，能正确
运用公理4判断空间两直线平行。
教学重点：公理4。
教学难点：运用公理4。
教学过程：
1、掌握两条直线的位置关系，即如下3种
（1）相交直线：共面，有且只有一个公共点
（2）平行直线：共面，没有公共点
（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2、对异面直线的概念这个重点和难点要着重明确如下几点：
（1）两条直线若异面则必不能同在任何一个平面内，因此它们不相交也不平行。
（2）分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线
2、如下图
（3）画异面直线时，以辅助平面作衬托，更为直观，如图
3、公理4：平行于同一条直线的两直线互相平行
公理4是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础
例1：如图，在正方体ABCD——A1B1C1D 1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；
（4）DC与BD1；（5）D1E与CF
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD
又CAB，C1平面ABCD
∴AB与CC1异面
（2）∵A1B1∥
3、AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC
（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC
则A1、B、C、D1在同一平面内 ∴A1C与D1B相交
（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD
又BDC，D1平面ABCD ∴DC与BD1异面
（5）如图，CF与DA的延长线交于G，连结D1G，
∵AF∥DC，F为AB中点， ∴A为DG的中点，又AE∥DD1，
∴GD1过AA1的中点E， ∴直线D1E与DF相交
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或
4、重合）。两条直线相交，总可以找到它们的交点。作图时用实点标出。两条直线异面，有时看上去象平行，（如图中的EB与A1C）有时看上去象相交（如图中的DC与D1B）。所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条异面直线判定的方法。
例2：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点。
求证：EB1∥DF，ED∥B1F
证明：设G是DD1的中点，分别连结EG，GC1
∵EGA1D1，B1C1 A1D1，
∴EGB1C1 四边形EB1C1G是平行四边形
∴EB1GC1 又EB1DF，
∴四边形EB1FD是平行四边形
∴ED∥B1F
例3：已知
5、空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点, F、G分别是CB、CD上的点，且＝＝
求证：四边形EFGH是梯形。
证明：（过程略）
引申：
（1）若BD＝a，则梯形的中位线的长是多少？
（2）求证：EF、GH的交点在AC所在直线上。
（3）已知空间四边形ABCD，P、Q分别是AB、CD的中点。
求证：PQ＜（AC＋BD）
证明：设R是BC的中点，分别连接PR，RQ
∵P是AB的中点
∴PR AC 同理，QR BD
∵在△PQR中，PQ＜PR＋QR＝（AC＋BD）
∴命题得证
判断：
（1）空间两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）若a、b为异面直线，则所有平行于a的直线与b异面
作图：
过如图长方体木块中BC中点P作A 1 C 1的平行线
课堂小结：
1、运用公理4判断两直线平行时须借助第三条线
2、平面图形适用的结论，对立体图形不一定适用
课后作业：
P297，10，12
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