中考数学复习：专题一数学思想方法问题.doc

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数学思想方法是学习数学知识的精髓, 是培养数学分析问题、 解决问题能力提升的有效
途径, 在数学学习过程中, 如果经常反思总结一些数学思想方法, 能达到触类旁通的解题目
的, 而且能节省审题时间, 因此, 在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节, 力争经过
反思数学思想方法达到”做一题, 会一类”的目的．
初中数学思想主要有: ①转化思想; ②数形结合思想; ③整体思想; ④分类讨论思想;
⑤函数与方程的思想; ⑥统计思想; ⑦特殊到一般的思想等．

现就常见数学思想方法举例说明如下:
1．转化思想
数学中考题是千变万化的, 而其中蕴含的数学思想方法是不变的, 如新知识问题转化为
旧知识问题, 较复杂问题转化为简单问题等, 都要用到转化的思想方法．
2．数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度, 利用几何图形的性质研究数量关系, 寻求代数问
题的解决途径, 或用数量关系研究几何图形的性质去解决几何图形的问题, 使数量关系和几
何图形巧妙地结合起来, 使问题得以解决的一种数学思想．
在初中阶段涉及数形结合思想的内容有: 数轴、 函数、 三角形、 四边形、 圆、 列方程(组)
解应用题等．数形结合思想方法的应用, 可帮助我们理解题意, 分清已知量未知量, 理顺题
中的逻辑关系．
3．分类讨论思想
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素, 无法用统一的方法或结论给
出统一的表述时, 按可能出现的所有情况来分别讨论, 得出各种情况下相应的结论．分类的
原则是: (1)分类中的每一部分是相互独立的; (2)一次分类必须是同一个标准; (3)分类讨论应
逐级进行．分类思想有利于学会完整地考虑问题, 化整为零地解决问题．
一般把握一个原则: 遇到模棱两可的情况时往往采用分类讨论的思想．比如, 遇到”等
腰三角形、 圆”等相关知识时常见分类讨论的思想．

类型一转化思想
x
2x
(1)解方程: x＋1＝3x＋3＋1.
【点拨】解分式方程时, 应去分母”转化”为整式方程再求解, 最后注意验根．
【解答】去分母, 得 3x＝2x＋3x＋3, 整理, 得－2x＝3,
解得 x＝－23.
经检验, x＝－23是原方程的根．

(2)已知: 如图, 在梯形 ABCD中, AD//BC, AB＝DC＝AD＝2, BC＝4, 求∠B的度数
及 AC的长．
【点拨】解决梯形问题时, 往往经过作辅助线”转化”为三角形、 平行四边形、 矩形等
特殊图形去解决, 常见辅助线有平移一腰、 作高、 平移对角线等．

【解答】如图, 分别作 AF⊥BC, DG⊥BC, F、 G是垂足．
∴∠AFB＝∠DGC＝90°.
∵AD//BC, ∴四边形 AFGD是矩形, ∴AF＝DG.
∵AB＝DC, ∴Rt△AFB≌Rt△DGC, ∴BF＝CG.
∵AD＝2, BC＝4, ∴BF＝1.
BF 1
在 Rt△AFB中, ∴cosB＝＝, ∴∠B＝60°.
AB 2
∵BF＝1, ∴AF＝ 3.
∵FC＝3, 由勾股定理, 得 AC＝2 3.
∴∠B＝60°, AC＝2 3.

类型二数形结合思想
ì2x＋5>1 , ①
求满足不等式组í
的整数解．
î3x－8≤10②
【点拨】解不等式(组)或求其特殊解时, 要借助数轴求解, 以防出现错解或漏解．
【解答】解不等式①, 得 x>－2.
解不等式②, 得 x≤6.∴－2圆周角相等或互补．
【解答】连结 OA、 OB, 过 O作 OC⊥AB于点 C, 在 Rt△AOC中, OA＝1, 由垂径定
理得 AC＝ 23, ∴∠AOC＝60°, ∴∠AOB＝120°, 因此弦 AB所对优弧上的圆周角度数为
60°, 所对劣弧上的圆周角的度数为 120°, 故选 D.

ì2x－y＝3
îx＋y＝3
1．方程组í
的解是(
)
ìx＝1
A.í
ìx＝2
B.í
ìx＝1
C.í
ìx＝2
D.í
îy＝2
îy＝1
îy＝1
îy＝3
解析: 两式左右分别相加, 得 3x＝6(转化为一元一次方程), 解得 x＝2, 把 x＝2代入②
ìx＝2
得 y＝1, ∴í
îy＝1
是原方程组的解, 故选 B.
答案: B

3
x
2．若点 A(x1, y1)、 B(x2, y2)在反比例函数 y＝－的图象上, 且 x1<0y2>0 B．y10>y2 D．y1<0则 AB、 CD之间
的距离为(
)
A．17 cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或 7 cm
解析: 分类讨论的思想方法．如图, 当 AB、 CD在圆心的同侧时, 在 Rt△OAE中, OE
＝ OA2－AE2＝ 132－122＝5(cm)．
在 Rt△OCF中, OF＝ OC2－CF2＝ 132－52＝12(cm)．
∴EF＝OF－OE＝12－5＝7(cm)
当 AB、 CD在圆心的异侧时, 同理可求出 AB、 CD之间的距离为 17 cm, 故 AB、 CD
之间的距离为 7 cm或 17 cm
答案: D

4．在平面直角坐标平面中, O为坐标原点, 二次函数 y＝－x2＋(k－1)x＋4的图象与 y
轴交于点 A, 与 x轴的负半轴交于点 B, 且 S△OAB＝6.
(1)求点 A与点 B的坐标;
(2)求此二次函数的解析式;
(3)如果点 P在 x轴上, 且△ABP是等腰三角形, 求点 P的坐标．
解: (1)由解析式可知, 点 A的坐标为(0,4)．
1
2
∵S△OAB＝×BO×4＝6, ∴BO＝3,
∴点 B的坐标为(－3,0)．
(2)把 B(－3,0)代入, 得－(－3)2＋(k－1)×(－3)＋4＝0,
5
解得 k－1＝－ .
3
∴所求二次函数的解析式为 y＝－x2－53x＋4.
(3)因为△ABP是等腰三角形, 因此①当 AB＝AP时, 点 P的坐标为(3,0); ②当 AB＝BP
时, 点 P的坐标为(2,0)或(－8,0); ③当 AP＝BP时, 设点 P的坐标为(x,0), 根据题意得 x2＋42
＝|x＋3|, 解得 x＝, ∴点 P的坐标为(76, 0)．
7
6
综上所述, 点 P的坐标为(3,0), (2,0), (－8,0), (76, 0)．

5．阅读材料: 为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0, 我们能够将 x2－1看做一个整体, 然
后设 x2－1＝y„„①, 那么原方程可化为 y2－5y＋4＝0, 解得 y1＝1, y2＝4.
当 y＝1时, x2－1＝1, ∴x2＝2, ∴x＝± 2; 当 y＝4时, x2－1＝4, ∴x2＝5, ∴x＝± 5,
∴原方程的解为 x1＝ 2, x2＝－ 2, x3＝ 5, x4＝－ 5.
解答问题: (1)上述解题过程, 在由原方程得到方程①的过程中, 利用________法达到了
解方程的目的, 体现了转化的数学思想．
(2)请利用以上知识解方程 x4－x2－6＝0.
解: (1)换元
(2)设 x2＝y, 那么原方程可化为 y2－y－6＝0.
解得 y1＝3, y2＝－2.
当 y＝3时, x2＝3, ∴x＝± 3,
当 y＝－2时, x2＝－2不符合题意, 舍去
∴原方程的解为 x1＝ 3, x2＝－ 3.