小学数学的几种解题策略.doc

浅谈“鸡兔同笼”问题的几种解题策略
蕲春县大同镇两河小学吴琛琛

摘要：小学数学问题的策略有很多，教师要根据各种数学问题的特点，学生认知水平和知识之间的联系，实时的教给学生解决问题的策略，培养学生解决问题的方法，提高学生解决问题的技能和技巧，提高学生数学的综合素质。
关键词：枚举策略；替换的策略；假设策略；转化策略
所谓数学解题方法是指解决数学问题中，学习者为实现某种目标所采用的一些相对系统的解题思想和方法，它既是由多种具体方法优化组合而成的一种系统化的方法体系，同时又是由多个步骤有机结合而构成的一种有序的思维活动程序。数学解题策略既是考察学习效果的基本因素，同时也是衡量个体解决问题能力的重要标志。有效的解决问题的策略能帮助学生以较少的时间利用所学的知识去尽可快的解决数学问题。
今有雉兔同笼，上有三十五头，
下有九十四足，问雉兔各几何？
小学四年级数学下册数学广角——“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，它在培养学生逻辑推理能力的同时使学生感受我国古代数学文化。由于本单元方程解法还没学，因此这里主要引导学生通过猜测、枚举、替换、假设、转化等方法来解决问题，培养学生的猜测，有序思考及逻辑推理的能力。
为了研究方便，我们把题目里的数字改小一点：“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头；从下面数，有26条腿。鸡和兔各有几只？”
一、枚举（列举）策略　　
枚举法是一种重要的数学方法,有很多较复杂的问题,常常是从具体情况一一枚举,从中找出规律和方法再加以解决的。
针对这一问题，可以列举出表格，让学生以填表的方式初步体验鸡兔同笼情况下两种动物的只数和脚的数量之间的关系，同时探索随着鸡和兔只数的变化，脚的数量也跟着变化的规律。

鸡（只）
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔（只）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
脚（只）
16
18
20
22
24
26
28
30
32
从表中可以看出，26只脚所对应的是3只鸡和5只兔子。
二、替换的策略
所谓替换策略，就是用一种相等的数值、数量、关系、方法、思想去替代变换另一种数值、数量、关系、方法、思路的一种策略。
从上面枚举策略的表格里，我们可以看出，当有8只鸡0只兔子时是16只脚。而当是7只鸡1只兔子时，也就是把1只鸡替换成了1只兔子，脚的总数就增加了2只。以此类推，将1只鸡替换成1只兔子，脚就增加2只。由此可知，要从8只鸡0只兔子的16只脚增加到26只脚，所以要增加10只脚，也就是需要替换10÷2=5只兔子，所以8只鸡替换了5只兔子，最后就可得出是3只鸡5只兔子。
三、假设的策略
题中要求两个或两个以上的未知数量，解题时可以先假设要求的两个或两个以上的未知量相等或先假设要求的一个未知量与题目中的某一已知数量相等，使题意明朗化、简单化。再按照题里的已知条件进行推算，把假定的加以纠正和调整，从而得到正确答案。
假设的策略针对这一问题
（一）先假设8只都是鸡，那么8×2=16只脚，这与题目所给的已知条件不符，也就是与26只脚相差了10只脚。
（二）又可假设8只都是兔子，那么8×4=32只脚，与题目又不相符，比26只脚多了6只。
为什么会这样呢？因为这只是种假设，题目中所给的是鸡和兔子同在一个笼子里，可能只有鸡，可能只有兔子，也可能鸡和兔子都有。既然两种假设都不成立，那很明显笼子里不只一种动物。但是从假设中我们可以看出一些问题。要怎样将假设的8只鸡的16只脚或者8只兔子的32只脚调整到题目所给的26只脚呢？有两种方法：
1、16只脚到26只脚要增加10只脚，也就是将假设的8只鸡里调整一部分数量的兔子，当每调整1只兔子，脚的数量就会增加2只，所以要调整10÷2=5只兔子，最终得到3只鸡5只兔子。
2、32只脚到26只脚要减少6只脚，也就是将假设的8只兔子里调整一部分数量的鸡，当每调整一只鸡，脚的数量就会减少2只，所以要调整6÷2=3只鸡，最终同样会得到3只鸡5只兔子。
四、转化的策略
有些应用题，数量关系较为复杂，求解时有一定的难度，可考虑运用转化的方法进行解答。
针对这种问题，我们还可以运用替代法。将一只脚看成一根小棒，那么就可以把1只鸡转化成2根一捆的棒子，1只兔子转化成4根一捆的棒子。由此，题意也就转化成“8捆共26根小棒，求大小各有多少捆”了。
以上针对“鸡兔同笼”的问题的四种方法，在平时教学活动中，为了顾及到学困生，总结出了一种模板。这种模板的原理实质上就是上面讲到的假设的策略。如下关系图：
题目已知名词1、2量词的总数量c
×
名词1 题目已知数量a ×

名词2 题目已知数量b 差
差
题目已知数量a、b的总数量d
于是就有计算公式：（c×a与d的差）÷（a与b的差）=名词2的数量。
或者：（c×b与d的差）÷（a与b的差）=名词1的数量。
下面举例说明。
（一）、停车场停有汽车和自行车一共20辆，一共有66个轮子，求汽车和自行车各有多少辆？根据以上模板，于是就有：
20（辆）
×

（1辆）自行车 2（个轮子） ×

（1辆）汽车 4（个轮子） 差
差
66（个轮子）
根据公式求得：（66－20×2）÷（4－2）=13（辆）（因为是20×2，2对应的是自行车的，所以求得的结果13就是汽车的数量）。
同理有：（20×4－66）÷（4－2）=7（辆）（因为是20×4，4对应的是汽车，所以求得的结果7就是自行车的数量）。
（二）、储钱罐里有1元和5角的硬币共30枚，共计22元钱，两种硬币各有多少枚？
对于这类的题目，因为1元和5角的单位不同，所以要统一单位。而对于四年级的学生来说，小数的乘法还没有学到，因此，要将元换算成角。所以有如下关系图
30（枚）
×

（1枚） 10（角） ×

（1枚） 5（角） 差
差
220（角）
列式为：（30×10－220）÷（10－5）=16（枚）（因为是30×10，对应的是1元的，所以结果16就是5角硬币的枚数）。
同理还可列式为：（220－30×5）÷（10－5）=14（枚）（因为是30×5，对应的是5角的，所以结果14就是1元硬币的枚数）。
（三）、胜利小学举行智力竞赛。共有20道题，每答对一道题得10分，每答错一道题要扣10分，刘超答了所有题但成绩确实100分，请你算一算，他答对了多少道题，答错了多少道题？
而对于这一类型的题目，首先要理解得10分和扣10分相差多少分。如果两个人分数相同是50分，相同的题目一人答对，一人答错，那么答对的就是60分，答错的就只有40分了，所以答对和答错相差了20分。于是就有：
20（道）
×

对1道 得10分

差
错1道 扣10分
100（分）
因为用20去乘答错所对应的10分时，也就意味着假设20道题全部答错，那么只会一分不得反而要扣掉200分，与题目所给的有得分相矛盾，所以此题中只可能用20去乘答对中所对应的10分，于是就有：
（20×10－100）÷（10+10）=5（道）（20乘的是答对的所对应的10分，所以所得结果5道就是答错题目的数量）。
以上所列模板针对所有的“鸡兔同笼”之类的问题都可通用，值得注意的是第个例题所除的是两个数的和，而不是两个数的差。其实不难理解，得10分就是+10，扣10分就是－10，+10与—10相差的也就是10—（—10）=20。因为对于小学生而言还没有学到负数，所以只能让他们理解并加以强行性地记忆。生活中还有类似的问题，例如运输物品，完好的就获得运费，破损的不仅没运费还要赔偿。诸于此类比较特殊的问题，所除的应该是两个的和而不是差。
总之，采取合理的对策，开展有效性教学，不仅能调动学生学习的积极性，主动参与教学。而且能够有效地培养学生的数学意识，发现和提出数学问题，积极寻求解决问题的策略的能力，最终达到提高小学生数学素养的目的。

参考文献：
[1]九年制义务教育《数学新课程标准》