《二次函数y=ax^2的图象和性质》教案.doc

22.1.2 二次函数的图象和性质
教学目标
1．知识与技能
能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质
2．过程与方法
经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.
3．情感、态度与价值观
在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．
教学重点难点
1．重点
函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．
2．难点
用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．
教与学互动设计
（一）创设情境 导入新课
导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？
导语二 展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？
导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？
（二）合作交流 解读探究
1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称
【探究 l】画y=x2的图象
学生动手实践、尝试画y=x2的图象
教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线
教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.
【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：
①形状是开口向上的抛物线
②图象关于y轴对称
③由最低点，没有最高点.
结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.
y=x2
y
O
x
图22-1-1
y=x2
y
O
x
图22-1-2
y=x2
y=2x2

2．函数y=ax2的图象特征及其性质
【探究2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象.
学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2
比较图中三个抛物线的异同.
相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.
②对称轴相同，都为y轴
③开口方向相同，它们的开口方向都向上.
不同点：开口大小不同.
【练一练】画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）
比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.
相同点：①形状都是抛物线.
②顶点相同，其坐标都为（0，0）.
③对称轴相同，都为y轴
④开口方向相同，它们的开口方向都向下.
不同点：开口大小不同.
【归纳】y=ax2的图象特征：
(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线
(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.
(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小
（三）应用迁移 巩固提高
类型之一 如何画好二次函数的图象
【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.
【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.
【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.
例1 下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.

解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.
图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.
图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.
【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.
类型之二 函数y=ax2的图象特征的应用
例2（1）填空：函数的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 .
（2）函数y=x2，y=，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.

解：（1）可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.
【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.
(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=x2，x轴下方的为y=-2x2
【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a<0时，开口向下.|a|越大，开口越小.
（四）总结反思 拓展升华
【总结】
1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.
2.本节所用的方法：实践比较法
【反思】函数y=ax2与y=ax2的图象之间有何关系？（它们关于x轴对称）
【拓展】
已知函数y=ax2经过(1,2).
（1）求a的值.
（2）当x<0时，y的值随x的增大而变化的情况
解：(1)将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a×12 ∴a=2.
(2)根据函数y=2x2知x<0时y随x的增大而减小.
【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x<0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小..
（五）当堂检测反馈
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是 向上 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 .抛物线y=-x2的开口方向是 向下 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 .
2. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 .
【分析】a与-2互为相反数
3. 在同一坐标系中：①y=，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大的是
①，最小的是③y=2x2，开口向下的是②y=-x2.
解： ∵||<|-1|<|2|,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小.
∵函数y=-x2中，二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下.
4. 二次函数y=2x2， y=-2x2 ，y=的图象共同点是①顶点相同，都是原点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.
5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.
解：设此抛物线的解析式为y=ax2, ∵此抛物线过点（-3，2），
∴2=a·(-3)2,即a=,.∴y=x2, ∴当x>0时，y随x的增大而增大.

作业