沪科版数学八年级上册121函数(函数及其相关的概念、函数的表示法).doc

函数及其相关的概念、函数的表示法

一. 教学重难点：
重点：常量与变量，函数的概念，函数的表示法。
难点：函数概念的理解，把实际问题抽象为函数问题

二. 具体内容：
1. 常量与变量
常量：在某一变化过程中，数值保持不变的量，叫做常量或常数。
变量：在某一变化过程中，可以取不同值的量称为变量。
注：①常量与变量必须存在于一个变化过程中。
②常量和变量是相对的。
③变量之间有一定的依赖关系。
2. 函数的概念
定义：设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
注：①函数存在于一个变化过程。
②必须有两个变量。
③自变量的一个值，因变量有且只有一个值与之对应。
自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值范围。
包含两个方面：一是含自变量的代数式有意义，二是使实际问题有意义。
函数值：对于一个函数，当自变量x=a时，我们可以求出与它对应的因变量y的值，我们称这个值是x=a时的函数值。
3. 函数的表示法
（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式，用解析式表示函数关系的方法叫做解析法。
（2）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数的方法。
（3）图象法：对于一个函数把自变量x与函数值y的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，由这些点组成的图形，就叫做这个函数的图象，这种表示函数关系的方法叫做图象法。
注：①三种表示法的优缺点：
解析法：简单明了，能从解析式清楚地看到两个变量之间的相互关系，适合理论分析和推导计算，但有时在求对应值时，需进行复杂的计算。
列表法：查询方便，对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把对应的函数值找到，但表格中的数值数量有限，从表中看不出变量间的对应规律。
图象法：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化，但根据自变量的值难以找到对应函数的准确值。
②画函数图象的步骤：
（1）列表：在自变量x的取值范围内取一些值，计算出与函数y相对应的值。
（2）描点
（3）连线

三. 考点分析
本节知识在中考中经常出现，主要考查对函数的认识和理解，关于函数自变量的取值范围多以选择填空出现，对函数的理解以及看图识图等多以中、高档题的应用题出现。

【典型例题】
例1. 下列说法中正确的是
A. 变量x、y满足x+3y=1，则y是x的函数。
B. 变量x、y满足，则y是x的函数。
C. 变量x、y满足，则y是x的函数。
D. 变量x、y满足，则y是x的函数。
分析：对于可以看成y是x的函数，因为对于，因为，所以没有意义，也就是对于任意的一个x的值，y都没有值与之对应，所以y不是x的函数，对于和，任意一个x的正数值，y都有两个值与之对应，所以y也不是x的函数，故正确的是A。

例2. 求下列函数中自变量x的取值范围。
（1） （2）
分析：自变量的取值范围就是使函数解析式有意义的x的范围，（1）、（2）中应分别使根式有意义，分母不为零。
解：（1）∵
即
∴x的取值范围是且
（2）∵
即
∴x的取值范围是

例3. 某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零租，每张收费1元，一种是会员卡制，办卡费每月12元，租碟每张0.4元，小彬若每月租碟x张。
（1）写出零租方式应付金额（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式。
（2）写出会员卡租碟方式应付金额（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式。
（3）小彬选用哪种方式较合算。
分析：（1）、（2）是根据已知条件用含x的代数式表示y，（3）是决策问题，通过计算比较大小得出相应的决策。
解：（1）
（2）
（3）①当时，
解得x=20
即当每月租20张时，两种租碟方式费用一样。
②当时，即，每月租碟多于20张时，会员卡租碟合算。
③当时，即时，每月租碟少于20张时，零租合算。

例4. 画出函数的图象。
分析：根据画函数图象的步骤，先列表，因为自变量x的取值范围是全体实数，故取值时可以以0为中心向两边取值。
解：（1）列表
x

0
1
2
3

0
1
（2）描点：在直角坐标系中描出表中各点。
（3）连线：用平滑的曲线将所描各点连接。
所得图象即为的函数图象。

注：①连线时按照自变量从小到大的顺序把所描各点用平滑的曲线连接起来。
②画函数图象应注意自变量的取值范围，在列表取值时应保证x在取值范围内。这里x的取值范围是全体实数，连线时应向左、右延伸，而不能连成线段或射线。

例5. 夏日的一个星期六，小红全家上午8时自驾车从家出发，到距她家180km的一旅游景点去玩，若小汽车离家的距离s（km）与时间t（h）的关系可以用下图中的折线表示，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）小红全家是几点钟到达目的地？游玩了多少小时？
（2）求出返程途中，距离s（km）与时间t（h）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）小红全家是什么时间到家的？返回时小汽车的平均速度是多少？
分析：观察图象可知小红全家10点到达目的地，共游玩了。（2）在返程途中，从14：00到15：00共1个小时走了，因此返程中平均速度是60km/h。其函数关系为（3）小红全家到家时s=0，求出相应的t值即可。
解：（1）小红全家是上午10时到达目的地，游玩了4h。
（2）由图象知返程途中的平均速度为，因此，返程途中s与时间t的关系为，即。
（3）把s=0代入，解得。
因此小红全家是当天17：00到家的，由（2）知返回时小汽车的平均速度是60km/h。
注：本题的自变量t表示的是时刻。

例6. 个人出版图书获得的稿费的税费计算方法，稿费不高于800的不纳税，稿费高于800元而又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费14%的税，稿费高于4000元的就缴纳全部稿费的11%的税。
（1）如果用x表示稿费，y表示稿税，写出y与x的关系式。
（2）若甲、乙两人各获得一笔稿费后，甲缴纳的稿税是462元，乙缴纳的稿税是280元，则两人的稿费各是多少？
分析：由于稿费的不同范围，纳税比例与方法也不一样，故本题应采用分类讨论的方法。
解：（1）
（2）因为
∴甲的稿费高于4000元，适合关系式
即当时，元
对于乙，因为
∴乙的稿费低于4000元，适合关系式
即当时，元。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A. 长方形的宽一定，其长与面积
B. 正方形的周长与面积
C. 等腰三角形的底边与面积
D. 球的体积与球的半径
2. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 打开某洗衣机开关，在洗涤时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水清洗、排水时洗衣机中的水量y（L）与时间x（min）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
A B C D
4. 下列各图中，不能表示函数图象的是（ ）
A B C D
5. 小明把过年收到的“压岁钱”100元存入银行，若银行的储蓄月利率是0.2%，则本息和（不计复利）y（元）与存款月数x之间的函数关系是_____________________。
6. 已知池中有的水，每小时抽出。
（1）写出剩余水的体积与时间之间的函数关系式。
（2）写出自变量t的取值范围。
（3）8h后，池中还有多少水？
（4）几小时后，池中有水。
7. 画出（）的图象。
8. 小华、爸爸、爷爷同时从家中出发，到达同一目的地后立即返回，小华去时骑自行车，返回时步行，爷爷去时步行，返回时骑自行车，爸爸往返都步行，三人步行速度不等，小华与爷爷骑车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系可用下面三个图象分别表示，根据图象回答下列问题。
（1） （2） （3）
（1）说说三个图象中对应小华、爸爸、爷爷的分别是哪个。
（2）小华家距离目的地多远？
（3）小华和爷爷骑车的速度是多少？三人的步行速度分别是多少？
9. 某市出租车价格是这样规定的：不超过2.5千米，付车费5元，超过的部分按每千米1.3元收费，已知某人乘出租车行驶了x千米，付车费y元，请写出x与y的函数关系式，并求出x=15时的函数值。

【试题答案】
1. C 三角形面积与底和底上的高都有关。
2. A
3. D 进水前和脱水后的水量均为0。
4. D x的每一个值，y有唯一的值与之对应的是函数。
5.
6. （1）
（2）时，此过程结束，即函数关系不再成立。
，t=12，故
（3）t=8时，
（4）时，，
7. 注意列表时x只能在0~3这个范围内取值，连线时，注意此函数图象是一条线段。
8. （1）小华对应的是（3），去时快，返回慢。
爸爸对应的是（2），往返所用时间相同。
爷爷对应的是（1），去时慢，返回快。
（2）由图知，距离为1200米。
（3）骑车速度：
小华步行速度
爸爸步行速度
爷爷步行速度
9. 如例6

故选用关系式

（元）