直线和圆-答案.doc

直线和圆

【答案】
1.  D       2.  D       3.  D       4.  A       5.  D       
6.  B       7.  A       8.  B       9.  A       10.  A       
11.  D       12.  B       
13.  （-∞，-2）∪[1，+∞）       
14.  

15.  
4

16.  5       
17.  
解：要使函数  在区间  上是增函数，
则  且  ，即  且  .
（1）所有  的取法总数为  个，
满足条件的  有  ，  ，  ，  ，  共5个，
所以，所求概率  .

（2）如图，求得区域 的面积为  .
由  求得 ，
所以区域内满足  且  的面积为  .
所以，所求概率  .  

18.  
该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最 大收益是70万元．

19.  
（1）（2）

20.  
​

21.  
（1）连接OM，因为点M是AB的中点，所以OM⊥AB，
则点M所在曲线是以OP为直径的圆  ，其方程为  ，
即  ；   
（2）因为 
设点O到直线l的距离为d，则  ，  
所以直线l的方程是：2x+y+4=0,  ，]  
（3）设切点Q的坐标为  ．则切线斜率为  ．
所以切线方程为  ．又  ，则

此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积  
由  知当且仅当  时，  有最大值．
即  有最小值．因此点Q的坐标为  ．  

22.  解：(I)设圆心C(a，a)，半径为r．
因为圆经过点A(-2，0)，B(0，2)，所以|AC|=|BC|=r，
所以
解得a=0，r=2，…(2分)
所以圆C的方程是x2+y2=4．…(4分)
(II)方法一：因为，…(6分)
所以，∠POQ=120°，…(7分)
所以圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，…(8分)
又，所以k=0．…(9分)
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为，代入消元得(1+k2)x2+2kx-3=0．…(6分)
由题意得：…(7分)
因为=x1•x2+y1•y2=-2，
又，
所以x1•x2+y1•y2=，…(8分)
化简得：-5k2-3+3(k2+1)=0，
所以k2=0，即k=0．…(9分)
III)方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l⊥l1，根据勾股定理，有，…(10分)
又根据垂径定理和勾股定理得到，，…(11分)
而，即 …(13分)
当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…(14分)
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…(10分)
当直线l的斜率k≠0时，设
则，代入消元得(1+k2)x2+2kx-3=0
所以
同理得到．…(11分)
=…(12分)
因为，
所以，…(13分)
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…(14分)       
【解析】
1.  
解：作出不等式组对应的平面区域如图，
z的几何意义为区域内的点到定点D（-1，0）的距离的平方，
由图象知D到直线AB：2x+y-2=0的距离最小，
此时D到直线的距离d=，
则z=d2=，
故选：D
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．
2.  
【分析】
本题考查简单线性规划的应用，关键是掌握线性规划的解题步骤，首先作出可行域，根据已知条件集合图形确定目标函数的可能情况.
【解析】
解：画出不等式的可行域，目标函数变形得，当最大时，直线的纵截距最大，画出直线将变化，结合图形知，当时，直线经过点时纵截距最大，故选 B.
3.  

题中的约束条件表示的区域如下图，将 z=ax+y化成斜截式为 y=-ax+z，要使其取得最大值的最优解不唯一，则 y=-ax+z在平移的过程中与重合或与重合，所以 a=-2或1。

4.  
解：∵直线l的方程kx+y-k-1=0可化为
k（x-1）+y-1=0，
∴直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，如图所示；
则直线PA的斜率是kPA==-4，
直线PB的斜率是kPB==，
则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是
k≥或k≤-4．
故选：A．
直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率k的取值范围．
本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．
5.  
任意投掷两次，（a，b）的可能基本事件种数为6×6＝36种，
其中使得l1∥l2的只有（a，b）＝（2，4）和（3，6）两种，

​
6.  
∵直线l1：x+2y-2=0与直线l2：ax+y-a=0交于点P，l1与y轴交于点A，l2与x轴交于点B，AB，P，O四点共圆；
∴∠AOB+∠APB=π，，
∴，即l1⊥l2，
∴1×a+2×1=0，
∴a=-2．从而可排除A、C、D；
∴答案选B。
7.  
本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．
解：由f(x)=-ex-x，得f’(x)=-ex-1，

由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a-2sinx，
又-2sinx∈[-2，2]，∴a-2sinx∈[-2+a，2+a]，
要使过曲线f(x)=-ex-x上任意一点的切线为l1，
总存在过曲线上一点处的切线 l2，使得
则，解得-1≤a≤2，
即a的取值范围为-1≤a≤2．
故选A．
8.  
本题主要考查的是直线和圆的位置关系，点到直线的距离公，属于中档题．将曲线方程化简，可得曲线表示以C(0，1)为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A(2，4)且斜率为k，作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(－2，1)，当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．
解：化简曲线，得(y＞1)
∴曲线表示以C(0，1)为圆心，半径r=2的圆的上半圆．
∵直线kx－y－2k＋4＝0可化为y－4＝k(x－2)，
∴直线经过定点A(2，4)且斜率为k．
又∵半圆与直线kx－y－2k＋4＝0有两个相异的交点，

∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(－2，1)，
当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足
，
解之得，即，
．
又∵直线AB的斜率，
∴直线的斜率k的范围为．
故选B.
9.  
如图，​
l过M与圆相交的弦AB⊥OM，交⊙O于A、B，连接OA； 由知圆心O（2，-2），OM=4，半径r=5。
Rt△OAM中，OM=4，OA=r=5；
根据勾股定理，得AM=3；
∴AB=2AM=6；
故过点M的弦的长度都在6～10之间；
因此弦长为6、7、8、9、10；
当弦长为6、10时，过M点的弦分别为弦AB和过M点的直径，分别有一条；
当弦长为7、8、9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦各应该有两条；
故弦长为整数的弦共有2+3×2=8条。
故选A。
10.  ∵圆心(3,2)到直线 y＝ kx＋3的距离 d＝，∴| MN|＝2≥2，得4 k2＋3 k≤0，

解得－≤ k≤0.
11.  
圆:的圆心为，半径为，由圆的性质知：，四边形的最小面积是，
∴的最小值，(是切线长)，∴，由圆心到直线 的距离就是PC的最小值可得
 ,∵，∴，故选D。
12.  
圆方程变形得： ，即圆心 ，半径 ， 圆心到直线 的距离 ， ，，则圆上到直线 的距离为 的点得个数为2个，故选B
13.  
解：f′（x）=3x2+2ax+b
由得
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：
由得∴Q点的坐标为（0，-1）．
设，则z表示平面区域内的点（a，b）与点P（1，0）连线斜率．
∵KPQ=1，由图可知z≥1或z＜-2，
即
故答案为：（-∞，-2）∪[1，+∞）
因为导函数x∈[-1，1]都有f′（x）≤2得到f′（1）和f′（-1都小于等于2，联立构成不等式组，在平面直角坐标系中画出组成的区域如图阴影部分，设z等于，则z表示阴影部分中任意一点（a，b）与（1，0）连线的斜率，根据图形可得出z的取值范围．
此题要求学生会利用导函数的正负确定圆函数的单调区间，掌握函数取极值时所满足的条件，以及会进行简单的线性规划，是一道中档题．
14.  
本题考查的是集合的运算，与园的标准方程的认识相关知识。
解析：设平面点集  表示的平面区域分别是以点  为圆心，1为半径的圆及其内部；平面点集  表示的双曲线右上侧的区域（包含双曲线上的点 ），  所表示的平面图形为图中阴影部分面积为 。
15.  
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用.由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值.
【解答】
解：圆C：x2+y2+2x-4y+3=0化为（x+1）2+（y-2）2=2，圆的圆心坐标为（-1，2）半径为．
圆C：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（-1，2）在直线上，可得-2a+2b+6=0，
即a=b+3．
点（a，b）与圆心的距离为，
所以点（a，b）向圆C所作切线长：

当且仅当b=-1时弦长最小，最小值为4.
故答案为4.
16.  
解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEMF为矩形
已知OA=OC=2 OM=，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，
则d12+d22=OM2=3．
四边形ABCD的面积为：s=•|AC|(|BM|+|MD|)，
从而： ，
当且仅当d12=d22时取等号，
故答案为：5．
17.  
本题主要考查了简单的线性规划、古典概型和几何概型.
(1)分别从集合A和B中随机取一个数作为 共9个基本事件,满足函数 在区间 上是增函数这一条件的事件包含基本事件的个数是5个，从而求得所求事件的概率为. 
2)由条件可得，实验的所有结果构成的区域 的面积为 ,区域内满足  且  的面积为 ,故所求的事件的概率为.
18.  
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为  分钟和  分钟，
总收益为  元，                          
由题意得   
目标函数为  ．
二元一次不等式组等价于 
作出二元一次不等式组所表示的平面区域
即可行域如图：              

作直线  ，
即  ．
平移直线  从图中可知，当直线  过  点时，目标函数取得最大值．                             
联立  解得  ．
 点  的坐标为  ．
 （元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
19.  
解析：本题考查直线与圆的方程的综合应用。
解：（1）由已知，直线  的斜率存在．直线  一定和圆有两个不同的交点．
1 当直线  的斜率为零时，直线  的斜率不存在，此时两直线的交点为  ，在圆的内部．
2 当直线  的斜率不为零时，设为  ，则直线  的方程为：  ，即  ．直线  的斜率为  ，方程为：  ，即  ．
联立这两个方程，解得交点坐标为  ．
依题，交点坐标应满足不等式  ，解此不等式，有  且  ，即  ．
综上，直线  的斜率的取值范围是  ．…………5分
（2） 1 当直线  的斜率为零时，弦长  ，  ，所以此时以  为顶点的四边形的面积  ．
2 当直线  的斜率不为零时，
圆心  到直线  的距离  ，所以弦长  ；
圆心  到直线  的距离  ，所以弦长  ．
所以以  为顶点的四边形的面积为

   ，
由（1）知，此时  ，所以  ，令  ，则  ，
所以  ，令  ，其对称轴为  ，可知  在  上为增函数，因此  ．
综上，以  为顶点的四边形面积的最大值为 ​

解：（1）由已知，直线  的斜率存在．直线  一定和圆有两个不同的交点．
1 当直线  的斜率为零时，直线  的斜率不存在，此时两直线的交点为  ，在圆的内部．
2 当直线  的斜率不为零时，设为  ，则直线  的方程为：  ，即  ．直线  的斜率为  ，方程为：  ，即  ．
联立这两个方程，解得交点坐标为  ．
依题，交点坐标应满足不等式  ，解此不等式，有  且  ，即  ．
综上，直线  的斜率的取值范围是  ．…………5分
（2） 1 当直线  的斜率为零时，弦长  ，  ，所以此时以  为顶点的四边形的面积  ．
2 当直线  的斜率不为零时，
圆心  到直线  的距离  ，所以弦长  ；
圆心  到直线  的距离  ，所以弦长  ．
所以以  为顶点的四边形的面积为

   ，
由（1）知，此时  ，所以  ，令  ，则  ，
所以  ，令  ，其对称轴为  ，可知  在  上为增函数，因此  ．
综上，以  为顶点的四边形面积的最大值为 ​

20.  
（1）当k存在时，设过A点的切线方程是y=k(x-1),因为圆心坐标是（3，4），半径为2，所以，所以切线方程为：3x-4y-3=0;当k不存在时，方程x=1也满足，综上所述，切线方程为3x-4y-3=0或x=1。 
(2)设点P（x,y）则由两点间的距离公式知： =，要 取得最大，只需要｜OP｜最大，又因为P为圆上的点，所以｜OP｜最大是｜OC｜+2=7.所以 ==2×7×7+2=100.此时直线OC：，联立圆的方程解得P的坐标为​.
21.  
本题主要考查了直线与圆的位置关系.
（1）利用垂径定理进行证明；
（2）由弦长公式求解；
（3）由均值不等式求解.
22.  
(I)设圆心C(a，a)，半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
(II)方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx-y+1=0的距离，即可求得实数k的值；
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；
(III)方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；
方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设，则，代入消元得(1+k2)x2+2kx-3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．