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课题 探索三角形被分割成两个等腰三角形的条件
浙江省绍兴县教师发展中心　姚志敏
教学目标
知识与技能
经历可以分割成两个三角形的条件的探索过程，发展学生的数学建模能力和合情推理能力；
过程与方法
用“建构――导学”课堂教学范式，让学生形成比较、分类、猜想、推理、类比等思维能力；
情感、态度与价值观
通过探索条件的实践过程，体会数学推理的乐趣，增强学生的合作交流意识。
教学重点
可以分割成两个等腰三角形的条件的探索过程。
教学难点
在条件探索过程中“一个角是另一个角的2倍”的限制条件。
教学准备
三角板、多媒体课件、实物投影等。

步
骤
具体内容
学情分析
设计意图
一、创设情境，引入课题
问题
1、（1）“如图，某建筑中的漂亮窗框，是用一些三角形彩色玻璃材料拼出，缺了一块。”现在想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花。已知花坛的三个角分别为36°、72°、72°，你可以帮忙办到吗？
学生对于这样的等腰三角形比较熟悉，应该很快可以得出结论，比较符合学生的认知规律
从学生比较熟悉的图形入手，让学生发现把一个三角形分割成两个等腰三角形是比较容易的，为本节课的后续发展打好基础
（2）如果把三角形的三个内角改成25°、50°、105°，你还能分吗？
(3)如果老师把三角形的三个内角改成20°、60°、100°，你还能分吗？
大多数学生可以通过操作得出结论
从特殊三角形改成一般三角形，学生的思维更进一层
合作
2、各小组合作设计一个三角形，使这个三角形都可以被分割成两个等腰三角形
学生比较习惯正向思维，对于这样的逆向思维问题，可能有部分学生可能会觉得有些困难。不过在小组合作的过程中，以能带弱，要设计一个图形还是比较简单的
通过举例培养学生的逆向思维，学生在设计过程中可能有一些盲目性、偶然性，但是教师正好利用学生偶然设计出的三角形，作为验证条件的资源
质疑
3、任何三角形都能被分割成两个等腰三角形吗？
多数学生会认为不可以，但是不太拿得定结论的正确性
通过学生对反例的思考，得出要分割成两个等腰三角形是有条件的

二、
交
流
对
话

探
究
新
知

建模
D
A
B
C
1、 △ABC中，∠A=α，∠B=β，∠C=γ，过点A作∠BAD=β，交BC于点D

数学建模对于八年级的学生来说，是有一定的困难的，教师如果说成“把文字语言变成符号语言”学生可能更能接受些
结合图形，与学生一起分析如何把文字语言转化为符号语言，让学生了解建模的意义和重要性
转化
2、推理1：∠ADC=2β，∠DAC=α-β
对照图形，学生应该可以比较容易得出其他相关内角的表示法
通过角度的表示，把重心逐步转到证明△ACD是等腰三角形的条件上来，可让学生明白并不需要证两个等腰，只要画一个、证另一个即
实质
3、推理2：△ACD为等腰三角形的各种情况：
（1）∠ADC=∠C，即2β=γ；
（2）∠ADC=∠CAD，即α=3β；
（3）∠C=∠CAD，即α=90°
判定等腰三角形的条件学生比较熟悉，但是学生可能会只考虑图上看起来象的一种情况
适当引导学生不要被图形所左右，要作分类讨论，学生可以得出△ACD为等腰三角形的三种情况
意义
4、（1）原三角形有一个角为另一个角的2倍；
（2）原三角形有一个角为另一个角的3倍；
（3）原三角形是直角三角形
数学语言的转化对部分学生来讲始终是个难点，教师要适当点拨
让学生把代数结果归纳出几何意义，实际上基本完成了对条件的探索，得出可以分割的三个条件。
证明
5、（1）已知△ABC中，∠A=α，∠B=β，∠C=2β，试说明△ABC可以被分割成两个等腰三角形；
（2）、（3）请学生仿照做
等腰三角形的证明对许多学生而言是比较简单的，只是这里可能有聪明的学生会想到万一α<β怎么办？如果学生提到，教师可以将钝角三角形的情形作展开，如果学生不提，则教师应在此地埋下伏笔
教师应该做好两方面的准备：一是在黑板上写出（1）的详细过程供学生模仿；（2）是准备好36°、48°、96°的一个三角形做好讲解限制条件的准备
三、梳
理
概
括
，
形
成
结
构
知识
1、分割成两个等腰三角形的条件和方法
能清楚知道分割的条件和方法
适当情况下可引导学生回顾
体验
2、探究活动中的感悟

学生平时习惯于教师出题、学生答题，对于数学建模从这节课中有了更深入的了解
从学生活动中找闪光点，感悟到探究、合作的乐趣
四、应
用
新
知
，
体
验
成
功

应用
1、让学生解决上面设计的各组的三角形的分割问题
有了知识的积累，解决相应的问题就变成了学生的快乐
让学生自己来解决自己的问题，可以给学生更大的成功感，也起到了首尾呼应的作用
2、（2008年宁波市中考题）
（1）如图1， △ABC中，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示。请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。

让学生运用自己探索的结论，解决中考试题中的探索操作题，再一次让学生体验探索发现的喜悦。
五、变
式
训
练
，
拓
展
新
知
质疑
在△ABC中，∠A=36˚，∠B=96˚，∠C=48˚，可以分割成两个等腰三角形吗？请试一试。

学生比较容易用刚才得到的结论对号入座，可是实践下起来却发现不能分，心里会比较疑惑
本题的设置是为了说明在“一个角为另一个角的2倍”这个条件下的一种特殊情况。这样的设计，让学生体验探究是一个逐步深入的过程
让
提高
将一个等腰三角形分成两个等腰三角形,原等腰三角形的顶角为几度?

学生一般还是会抱着“猜测”的心理，只能答对部分情况
让学生学会综合使用知识
六、小
结
评
价
，
布
置
作
业
1、小结: 1.一个三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件：
（1）原三角形一个角是另一个角的2倍；（有何限制条件？）
（2）原三角形一个角是另一个角的3倍；
（3）原三角形是直角三角形。
2.如何分？
3.数学思想及方法：猜想——验证、分类讨论、反例说明等
能对本节内容进行整理
对学生的表现适当评价，给于鼓励
2、作业
问题1：你会计算“当一个角为另一个角 2 倍时, 分割两个等腰三角形”, 第三角的取值范围吗?
问题2：“当一个角为另一个角 3 倍时, 分割两个等腰三角形”, 第三角的取值有没有什么限制呢?
[可作机动题]