第1章检测题A.doc

第一章　检测题A
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是(　　)
A．p且q　　　　　 B．p或q
C．非p D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　命题p真，命题q假，故p或q为真．
2．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题(　　)
A．若m∉M，则n∉M B．若n∉M，则m∈M
C．若m∉M，则n∈M D．若n∈M，则m∉M
[答案]　D
[解析]　要得到与原命题等价的命题，即原命题的逆否命题，只需将原命题的条件和结论全部否定，然后交换位置可得，所以选D．
3．下列命题中，真命题是(　　)
A．存在x0∈R，ex0≤0
B．任意x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
[答案]　D
[解析]　本题考查了量词与充分必要条件．由指数函数的性质知A错误．
当x＝3时，8<9，知B错误，由a＝b＝0时知C错误，排除法是解选择题的不错选择．
4．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)
A．存在x0∈R，使得x<0
B．对任意x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
[答案]　A
[解析]　全称命题的否定为特称命题．
否定为：存在x0∈R，使x<0.故选A．
5．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是(　　)
A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数
B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数
D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数
[答案]　D
[解析]　当m＝0时，f(x)＝x2为偶函数，所以选D．
6．设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　f(x)＝ax在R上是减函数，得0＜a＜1，所以2－a＞0，g(x)在R上为增函数；反之，g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，2－a＞0,0＜a＜2，此时不能推出f(x)＝ax为R上减函数，例如a＝，故为充分不必要条件．
7．下列命题中正确的是(　　)
A．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互平行”的充分不必条件
B．“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件
C．已知a、b、c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的充要条件
D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2 013≤0.则¬p：任意x∈R，x2＋2x＋2 013＞0
[答案]　D
[解析]　特称命题的否定是全称命题，D正确．
8．(2015·浙江理，4)命题“∀n∈N*，f(n)∈N* 且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．∀n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>n
B．∀n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*, f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*, f(n0)∉N*或f(n0)>n0
[答案]　D
[解析]　根据全称命题的否定是特称命题，可知选D．
9．命题p：不等式||>的解集为{x|0A＝B”是“sinA＝sinB”成立的必要非充分条件，则(　　)
A．p真q假 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．p假q真
[答案]　A
[解析]　分别判断命题p与命题q的真假，
∵||>⇔<0⇔0b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；
②acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(　　)
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
[答案]　D
[解析]　本题考查不等式性质，比较大小．
－＝，a>b>1，c<0，所以>0，>，①正确；a>b>1，ac>bc，②正确；a－c>b－c>0，由题意知logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确，比较大小的方法有作差法、单调性法等．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．命题“末位是0的整数能被5整除”的否定是______________．
[答案]　存在一个末位是0的整数不能被5整除
[解析]　命题“末位是0的整数能被5整除”的实质是“任意一个末位是0的整数能被5整除”，是全称命题，因此它的否定是“存在一个末位是0的整数不能被5整除”．
[总结反思]　解答本题的关键是明确该命题省略了全称量词．
12．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则¬p是¬q的__________________条件．
[答案]　充分不必要
[解析]　¬p：≤x≤2；¬q：－1≤x≤2，{x|－1≤x≤2}所以¬p是¬q的充分不必要条件．
13．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于______________对称，则函数g(x)＝________________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)．
[答案]　y轴　3＋log2(－x)(答案不唯一)
[解析]　该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用知识．可能的情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．答案不唯一．
14．命题“存在x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________________．
[答案]　a>2或a<－2
[解析]　由于存在x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.
15．在下列四个命题中，真命题的个数是__________________．
①∀x∈R，x2＋x＋3＞0；
②∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③∃α，β∈R使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
[答案]　4
[解析]　①为真命题，因为x2＋x＋3＝2＋＞0恒成立；
②为真命题，有理数为四则运算，仍为有理数；
③为真命题，当α＝，β＝0时方程成立；
④为真命题，当x0＝6，y0＝4时，方程成立．
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)正三角形的三内角相等；
(2)全等三角形的面积相等；
(3)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋D．
[解析]　(1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形)．
(2)原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等”．
逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等(或写成：面积相等的三角形全等)．
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的三角形面积不相等)．
逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等．(或写成：面积不相等的两个三角形不全等)．
(3)原命题即是“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a与b，c与d都相等”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q，所以
逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝D．
否命题：已知a、b、c、d是实数，若a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋D．
逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b，或c≠D．
17．写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解析]　逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
18．写出下列命题的“¬p”命题，并判断它们的真假．
(1)p：∀x，x2＋4x＋4≥0.
(2)q：∃x0，x－4＝0.
[解析]　(1)¬p：∃x0，x＋4x0＋4＜0是假命题．
(2)¬p：∀x，x2－4≠0是假命题．
19．求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
[证明]　充分性：当b＝0时，如果a＋2b＝0，
那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，
直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；
当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，
直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，如果a＋2b＝0，
那么k1k2＝×＝－1，两直线互相垂直．
必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k2＝×＝－1，所以a＋2b＝0；
若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，
则b＝0，且a＝0.所以，a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
20．设p：关于x的不等式ax＞1(a＞0且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
[解析]　当p真时，0＜a＜1，当q真时，
即a＞，∴p假时，a＞1，q假时，a≤.
又p和q有且仅有一个正确．当p真q假时，0＜a≤，当p假q真时，a＞1.综上得，a∈∪(1，＋∞)．
21．若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析]　解法一：由题意，对任意x∈[－1，＋∞]，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立．
对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，
解得实数a的取值范围是[－3,1]．
解法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立．
所以Δ≤0，或
即－2≤a≤1，或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．